[論文レビュー] High-frequency sampling of multivariate CARMA processes

Péter Kevei|arXiv (Cornell University)|Sep 11, 2015

Advanced Statistical Process Monitoring参考文献 14被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、多変量連続時間自己回帰移動平均（MCARMA）過程の高周波数サンプリングを調査し、サンプリング間隔Δが0に近づく際のスペクトル密度の漸近展開を導出する。適切にフィルタリングされたサンプリング過程がベクトル移動平均過程に収束することを示し、単変量の結果を多変量へ一般化し、高周波数データ解析のための取り扱いやすい近似を提供する。

ABSTRACT

High-frequency sampled multivariate continuous time autoregressive moving average processes are investigated. We obtain asymptotic expansion for the spectral density of the sampled MCARMA process $(Y_{nΔ})_{n \in \mathbb{Z}}$ as $Δ\downarrow 0$, where $(Y_t)_{t \in \mathbb{R}}$ is an MCARMA process. We show that the properly filtered process is a vector moving average process, and determine the asymptotic moving average representation of it, thus generalizing the results by Brockwell et al. in the univariate case to the multivariate model. The determination of the moving average representation of the filtered process, important for the analysis of high-frequency data, is difficult for any fixed positive $Δ$. However, the results established here provide a useful and insightful approximation when $Δ$ is very small.

研究の動機と目的

• サンプリング間隔Δ → 0 の際、離散的にサンプリングされた多変量CARMA過程のスペクトル密度の漸近的挙動を分析すること。
• CARMA過程の高周波数サンプリングに関する単変量の結果を多変量設定に一般化すること。
• フィルタリングされたサンプリング過程の漸近的移動平均表現を導出し、高周波数データの実用的解析を可能にすること。
• Δが小さいが正の値である場合の移動平均表現に対する厳密な近似フレームワークを提供することにより、固定Δにおける正確な計算の難しさを克服すること。

提案手法

• 状態空間表現とLévy駆動確率微分方程式を用いて、サンプリングされたMCARMA過程 (Y_{nΔ})_{n∈ℤ} のスペクトル密度を導出する。
• Δ ↓ 0 におけるスペクトル密度に対して漸近展開技術を適用し、主項に注目する。
• 伝達関数 g(t) = ∫ e^{i t x} P(ix)^{-1} Q(ix) dx を用いたMCARMA過程のスペクトル表現を用いる。
• スペクトル密度の漸近的挙動と伝達関数の構造を分析することで、フィルタリングされた過程がベクトル移動平均過程に確率的に収束することを確立する。
• チェビシェフ多項式とオイラー多項式を用いて、漸近展開における係数を特徴付ける。
• 一般化されたオイラー多項式の根を用いたスペクトル密度の因数分解を導入し、複素根であっても共役対称性により実数係数を保つ実数値因数分解を構築する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Δ → 0 の際、高周波数でサンプリングされた多変量CARMA過程の漸近的スペクトル密度は何か？
• RQ2 フィルタリングされたサンプリング過程は漸近的にどのように振る舞い、ベクトル移動平均過程として表現可能か？
• RQ3 フィルタリングされた過程の漸近的移動平均表現は何か？ これは単変量の結果を多変量へどのように一般化するか？
• RQ4 スペクトル密度展開の主項は、実数係数を持つ移動平均表現に対応する項の積に因数分解可能か？
• RQ5 関連する多項式の根が実数となる条件は何か？ これはスペクトル密度の因数分解にどのように影響するか？

主な発見

• サンプリングされたMCARMA過程のスペクトル密度はΔ ↓ 0 において漸近展開を有し、主項はΔ^{2(p−q)−1} (1−cos ω)^{pd} に三角関数を乗じた形に比例する。
• フィルタリングされた過程は分布収束によりベクトル移動平均過程に収束し、その漸近的移動平均表現が明示的に導出された。
• 漸近展開の主係数は、システム行列Aの固有値の積とオイラー多項式の係数によって決定される。
• 根ξ_jを含む(1−cos ω − ξ_j)に因数分解することで、複素根であっても共役対称性により実数値移動平均表現が可能となり、結果として実数係数の因数分解が得られる。
• Δが小さい場合に限り、固定Δ > 0 では計算困難な移動平均表現に対する実用的近似を本手法が提供する。
• 本稿では、一般化されたオイラー多項式の根ξ_{2k−1,j} が実数かつ2より大きいと予想されており、これによりη(ξ_j)が実数となり、因数分解における係数も実数となることが保証される。