[論文レビュー] High-order accurate implicit methods for the pricing of barrier options

J. C. Ndogmo, Davis Bundi Ntwiga|ArXiv.org|Sep 29, 2007

Stochastic processes and financial applications参考文献 16被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、バリアオプションの価格設定のための高次精度な陰的有限差分スキームを提案する。空間方向で4次精度を達成するとともに、確率に基づく最適境界条件の決定手法を組み合わせることで、特に離散的モニタリングのバリアオプションにおいて、優れた速度と精度を実現する。半解析的ベンチマークに最も近い価格を生成し、ほとんどのケースで1.2秒未満、最も複雑な構成でも5秒未塔の計算時間を達成する。

ABSTRACT

This paper deals with a high-order accurate implicit finite-difference approach to the pricing of barrier options. In this way various types of barrier options are priced, including barrier options paying rebates, and options on dividend-paying-stocks. Moreover, the barriers may be monitored either continuously or discretely. In addition to the high-order accuracy of the scheme, and the stretching effect of the coordinate transformation, the main feature of this approach lies on a probability-based optimal determination of boundary conditions. This leads to much faster and accurate results when compared with similar pricing approaches. The strength of the present scheme is particularly demonstrated in the valuation of discretely monitored barrier options where it yields values closest to those obtained from the only semi-analytical valuation method available.

研究の動機と目的

• リバーブ、配当、ダブルバリアを含むさまざまなタイプのバリアオプションの価格設定のための高次精度数値法の開発。
• 特に離散的モニタリングのバリアオプションにおいて、既存の有限差分スキームの計算効率の低さと精度の不足を是正すること。
• 収束性と精度を向上させるために、正確なオプション価格を境界で保証する確率に基づく最適境界条件決定手法を用いて境界条件の取り扱いを改善すること。
• 連続的および離散的モニタリングの両方において、標準的スキーム（例：Crank-Nicolson、陽解法、完全陰解法）と比較して、本手法の速度および精度の優位性を示すこと。
• 離散的モニタリングのバリアオプションに対して唯一入手可能な半解析的解と比較し、ほぼ同一の結果を得ることによる妥当性の検証。

提案手法

• 空間方向で4次精度、時間方向で2次精度を達成するθ法を採用し、θをメッシュサイズに関連付けることで実現する。
• 資産価格領域を、バリアなどの重要な領域近くでの解像度を向上させるためにグリッドストレッチングを可能にする計算領域に座標変換を施す。
• 境界条件は、境界での正確なオプション価格を保証する確率に基づく最適決定法を用い、精度を著しく向上させる。
• 変換されたx-τ座標系において非一様グリッドを用いて実装されたが、x座標における一様グリッドが最も優れた結果をもたらした。
• 単一およびダブルノックアウト、ノックイン、配当支払い株式、リバーブ支払いを含むさまざまなバリアタイプを扱えるように、本手法を拡張した。
• 連続的および離散的モニタリングの両方の数値実験を通じて、高精度な解析を実施。メッシュサイズは、4000×6000まで拡大した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高次精度陰的有限差分スキームは、標準的スキーム（例：Crank-Nicolson）と比較して、バリアオプション価格設定において速度および精度の面で優位性を示せるか？
• RQ2 確率に基づく最適境界条件決定法は、特に離散的モニタリングのケースにおいて、バリアオプション評価の精度をどのように向上させるか？
• RQ3 本手法は、解析的解がほとんど存在しない離散的モニタリングのバリアオプションにおいて、半解析的解に近い精度をどの程度達成できるか？
• RQ4 座標変換と高次空間離散化を用いることで、計算コストを著しく削減しながらも高精度を維持できるか？
• RQ5 リバーブ、配当、ダブルバリアを含む複雑なバリアオプションに対しても、本手法は効果的に適用可能か？

主な発見

• 連続的モニタリングのすべてのケースで計算時間が1.2秒未塔、最も複雑な離散的モニタリングのオプションでは5秒未塔であり、特にq=0.045のダブルノックアウトオプションで4.20秒という記録を更新した。
• 離散的モニタリングのバリアオプションにおいて、唯一の半解析的ベンチマークと最も近い価格を生成し、全テストケースで絶対値差が0.01未塔であった。
• 連続的モニタリングにおいても、最小限の20×20メッシュでも高い精度を達成しており、優れた収束性と安定性を示した。
• 確率に基づく境界条件決定法は、単一バリアおよび離散的モニタリングのダブルバリアオプションにおいて、特に精度向上に寄与した。
• 変換された座標系における非一様グリッドは性能向上に寄与せず、x座標における一様グリッドが最も優れた結果をもたらした。これは、本スキームにおいて変換空間でのグリッドの一様性が最適であることを示唆している。
• Crank-Nicolson、陽解法、完全陰解法といった標準的スキームと比較して、特に離散的モニタリングの困難なケースにおいて、本手法は速度および精度の両面で優位性を示した。