[論文レビュー] High order algorithms for Fokker-Planck equation with Caputo-Fabrizio fractional derivative

Minghua Chen, Jiankang Shi+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 10, 2018

Fractional Differential Equations Solutions被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、Caputo-Fabrizio分数階微分を有するFokker-Planck方程式に対する高次数値アルゴリズムを開発し、連続時間ランダムウォークの枠組みを活用するとともに、分数量的実効微積分の離散化スキームを拡張する。ν = 1,2,3,4について、理論的および数値的に検証された、無条件安定性および全域切り捨て誤差 𝒪(τ² + h²) を達成する。

ABSTRACT

Based on the continuous time random walk, we derive the Fokker-Planck equations with Caputo-Fabrizio fractional derivative, which can effectively model a variety of physical phenomena, especially, the material heterogeneities and structures with different scales. Extending the discretizations for fractional substantial calculus [Chen and Deng, \emph{ ESAIM: M2AN.} extbf{49}, (2015), 373--394], we first provide the numerical discretizations of the Caputo-Fabrizio fractional derivative with the global truncation error $\mathcal{O}(τ^ν)$ $ (ν=1,2,3,4)$. Then we use the derived schemes to solve the Caputo-Fabrizio fractional diffusion equation. By analysing the positive definiteness of the stiffness matrices of the discretized Caputo-Fabrizio operator, the unconditional stability and the convergence with the global truncation error $\mathcal{O}(τ^2+h^2)$ are theoretically proved and numerical verified.

研究の動機と目的

• 材料の不均一性およびマルチスケール構造を含む複雑な物理現象を、Caputo-Fabrizio分数量的微分を有するFokker-Planck方程式を用いてモデル化すること。
• 分数量的実効微積分の既存の離散化手法を拡張し、Caputo-Fabrizio微分に対して時間方向の高次精度を達成すること。
• 提案されたスキームの無条件安定性および収束性について、理論的および数値的妥当性を確立すること。
• 離散化されたCaputo-Fabrizio作用素から生じる剛性行列の正定値性を分析し、安定性証明を支援すること。

提案手法

• 連続時間ランダムウォークフレームワークから、Caputo-Fabrizio分数量的微分を有するFokker-Planck方程式を導出する。
• ChenとDeng (2015) が提案した分数量的実効微積分の高次離散化スキームを適応・拡張し、Caputo-Fabrizio微分に適用。全域切り捨て誤差 𝒪(τ^ν) を達成（ν = 1,2,3,4）。
• 導出されたスキームを用いて、Caputo-Fabrizio分数量的拡散方程式を数値的に解く。
• 離散化作用素の剛性行列を分析し、正定値性を証明する。これにより安定性解析の基盤を提供する。
• 理論的分析を通じて、無条件安定性および全域誤差 𝒪(τ² + h²) の収束性を確立する。
• 数値実験により理論的結果を検証し、予測された収束率が正当化されることを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Caputo-Fabrizio分数量的微分に対して、Fokker-Planck方程式を解く際の精度を向上させるために、高次時間離散化スキームをどのように構築できるか？
• RQ2 Caputo-Fabrizio分数量的拡散方程式の数値スキームが無条件安定性を満たすための条件は何か？
• RQ3 離散化されたCaputo-Fabrizio作用素に対して、剛性行列の正定値性を厳密に確立できるか？
• RQ4 提案された高次スキームの全域収束率は何か？ また、既存手法と比較してどうなるか？
• RQ5 数値実験は、安定性および収束性に関する理論的予測をどの程度確認できるか？

主な発見

• 提案された高次離散化スキームは、時間方向に 𝒪(τ^ν) の全域切り捨て誤差を達成（ν = 1,2,3,4）、従来の分数量的実効微積分に関する研究を拡張する。
• Caputo-Fabrizio作用素から導かれる剛性行列は正定値であることが証明され、無条件安定性の理論的根拠が得られる。
• 理論的分析により、数値スキームの無条件安定性が確認され、長時間シミュレーションにおいて極めて重要な性質であることが示される。
• スキームの収束率は、厳密に 𝒪(τ² + h²) であることが証明され、誤差は時間的および空間的要因の両方が寄与する。
• 数値実験により理論的収束率が確認され、提案手法の精度および頑健性が妥当であることが検証される。
• このフレームワークは、Caputo-Fabrizio分数量的微分を用いて、材料の不均一性およびマルチスケール構造を有する物理系を効果的にモデル化できる。