[論文レビュー] High order conservative Semi-Lagrangian scheme for the BGK model of the Boltzmann equation

Sebastiano Boscarino, Seung Yun Cho+2 more|arXiv (Cornell University)|May 9, 2019

Gas Dynamics and Kinetic Theory参考文献 19被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、ボルツマン方程式のBGKモデルに対する高次元保存的半ラグランジュ有限差分スキームを提示する。本スキームは、2つの主要な保存性の欠陥を解消する：(1) 離散マクスウェル分布を用いることで離散的粒子速度空間解像度の誤差を是正し、(2) 流束差分に基づく保存的補正により、再構成に起因する保存性の損失を是正する。本スキームは、最小限の速度グリッド点数で質量、運動量、エネルギーの機械精度の保存性を達成し、クヌーゼン数が0に近づく極限においてオイラー方程式への漸近的保存性（AP）を示す。

ABSTRACT

In this paper, we present a conservative semi-Lagrangian finite-difference scheme for the BGK model. Classical semi-Lagrangian finite difference schemes, coupled with an L-stable treatment of the collision term, allow large time steps, for all the range of Knudsen number. Unfortunately, however, such schemes are not conservative. There are two main sources of lack of conservation. First, when using classical continuous Maxwellian, conservation error is negligible only if velocity space is resolved with sufficiently large number of grid points. However, for a small number of grids in velocity space such error is not negligible, because the parameters of the Maxwellian do not coincide with the discrete moments. Secondly, the non-linear reconstruction used to prevent oscillations destroys the translation invariance which is at the basis of the conservation properties of the scheme. As a consequence the schemes show a wrong shock speed in the limit of small Knudsen number. To treat the first problem and ensure machine precision conservation of mass, momentum and energy with a relatively small number of velocity grid points, we replace the continuous Maxwellian with the discrete Maxwellian introduced by Mieussens. The second problem is treated by implementing a conservative correction procedure based on the flux difference form. In this way we can construct a conservative semi-Lagrangian scheme which is Asymptotic Preserving (AP) for the underlying Euler limit, as the Knudsen number vanishes. The effectiveness of the proposed scheme is demonstrated by extensive numerical tests.

研究の動機と目的

• 古典的な半ラグランジュスキームが、特に低速度グリッド領域において保存性に欠ける問題を是正すること。
• 非線形再構成によって引き起こされる並進不変性の損失を是正すること。これは、小さなクヌーゼン数の極限において衝撃波の速度が歪む原因となる。
• 連続マクスウェル分布の代わりに離散マクスウェル分布を用いることで、質量、運動量、エネルギーの機械精度の保存性を保証すること。
• クヌーゼン数が0に近づく極限においてオイラー方程式への漸近的保存性（AP）を有するスキームを開発すること。
• L安定処理による衝突項の取り扱いにより、大きな時間ステップでも高次精度を維持しながら保存性と安定性を保つこと。

提案手法

• 粗い速度グリッドでもモーメントの正確な保存性を保証するため、[17]の離散マクスウェル分布を連続マクスウェル分布に代えて採用する。
• 非線形再構成による保存性の損失を是正するため、[21]と同様に流束差分形式に基づく保存的補正手順を実装する。
• BGK衝突項に対してL安定処理を施したDIRK（対角的陰的ルンゲ・クッタ）またはBDF（後退差分公式）時間積分法を用い、大きな時間ステップを可能にする。
• 半ラグランジュフレームワークにおいて、特徴線の軌道を空間的・時間的に高次精度で補間する。
• 全領域における総質量、運動量、エネルギーの保存を保つために、周期的境界条件を適用する。
• 流束差分補正とモーメント一貫性バウンドを用いて離散的保存誤差推定値を導出し、適切な安定性条件下で機械精度への収束を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 BGKモデルの半ラグランジュスキームは、少数の速度グリッド点数で、どのようにして質量、運動量、エネルギーの機械精度の保存性を達成できるか？
• RQ2 連続マクスウェル分布と非線形再構成を用いる古典的半ラグランジュスキームで、保存性がどのように損なわれるか？
• RQ3 流束差分に基づく保存的補正は、高次精度と安定性を保ちつつ保存性を回復させることができるか？
• RQ4 提案されたスキームは、小さなクヌーゼン数の極限においても漸近的保存性（AP）を維持するか？ これにより、正しいオイラー力学を再現できるか？
• RQ5 離散スキームにおけるモーメント保存の理論的誤差バウンドは何か？ また、時間ステップと許容誤差にどのように依存するか？

主な発見

• 連続マクスウェル分布の代わりに離散マクスウェル分布を用いることで、粗い速度グリッドによるモーメント保存誤差が完全に解消され、少数の速度点数でも機械精度の保存性が達成可能となる。
• 流束差分に基づく保存的補正は、並進不変性を回復させ、小さなクヌーゼン数領域における誤った衝撃波速度の発生を防止する。
• 本スキームは漸近的保存性（AP）を示す：クヌーゼン数κ → 0のとき、解のモーメントは圧縮性オイラー方程式に収束する。
• DIRKおよびBDFスキームの両方について、保存誤差推定値が導出された。合計モーメント誤差は、再構成の許容誤差と時間ステップに比例する項で有界であり、Butcherテーブル係数に依存する明示的定数を含む。
• s=1,2,3のDIRKスキームでは、保存誤差は(Σ|bₖ|) * (NₜΔt)/(κ + bₛΔt) * (x_max - x_min) * tolで有界であり、tol → 0のとき機械精度への収束が保証される。
• s=2,3のBDFスキームでは、追加の係数γₛとβₛが含まれており、γ₂ = 3/2、γ₃ = 146/11である。これは時間ステッピングの複雑性が増すが、依然として保存誤差が有界であることを示している。