[論文レビュー] High-order convergent Finite-Elements Direct Transcription Method for Constrained Optimal Control Problems

Martin Neuenhofen|arXiv (Cornell University)|Dec 21, 2017

Spacecraft Dynamics and Control参考文献 19被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、一般の微分代数方程式（DAE）、点制約、不等式制約を伴う制約付き非線形最適制御問題を解く高次収束性を示す有限要素法を提示する。正則化されたペナルティ・バリア汎関数を用い、有限要素空間における局所的強い凸性およびリプシッツ連続性を活用することで、緩い仮定のもとで高次収束性を達成し、柔軟な成分別メッシュ・リファインメントと一般用途のソルバーを用いたスパース性に配慮したNLPの効率的解法を可能にする。

ABSTRACT

In this paper we present a finite element method for the direct transcription of constrained non-linear optimal control problems. We prove that our method converges of high order under mild assumptions. Our analysis uses a regularized penalty-barrier functional. The convergence result is obtained from local strict convexity and Lipschitz-continuity of this functional in the finite-element space. The method is very flexible. Each component of the numerical solution can be discretized with a different mesh. General differential-algebraic constraints of arbitrary index can be treated easily with this new method. From the discretization results an unconstrained non-linear programming problem (NLP) with penalty- and barrier-terms. The derivatives of the NLP functions have a sparsity pattern that can be analysed and tailored in terms of the chosen finite-element bases in an easy way. We discuss how to treat the resulting NLP in a practical way with general-purpose software for constrained non-linear programming.

研究の動機と目的

• 一般のDAE、点制約、不等式制約を伴う制約付き最適制御問題に対して、高次収束性を示す数値的手法を開発すること。
• 特に正則化されたペナルティ・バリア汎関数の使用を通じて、緩い仮定のもとで提案手法の収束を厳密に保証すること。
• 解ベクトルの各成分に対して異なるメッシュを許容することにより、柔軟な空間離散化を可能にすること。
• 得られる非線形計画問題（NLP）が、一般用途のソルバーに適した構造的スパース性を保つようにすること。
• 内点法と対数バリアを用いた離散NLPの実用的フレームワークを提供し、適切なパrameter設定のもとで元の問題と同等になるようにすること。

提案手法

• 時間領域における状態変数および制御変数の有限要素離散化を採用し、解ベクトルの各成分に対して独立したメッシュリファインメントを可能にする。
• 制約を処理するために正則化されたペナルティ・バリア汎関数を用い、等式制約（ペナルティ項を介して）と不等式制約（バリア項を介して）を1つの無制約NLP定式化に統合する。
• 目的汎関数および制約関数を高次有限要素を用いて離散化し、真の最適制御に対する数値解の高次収束性を保証する。
• 得られるNLPは、選択された有限要素基底関数に明示的に依存するスパース性パターンを持つため、線形代数のカーネルで効率的に処理可能である。
• IPOPT や Knitro などの内点法を用いてNLPを解き、対数バリアとパrameter継続戦略を用いて元の問題と同等になるように保つ。
• ペナルティパラメータ ω とバリアパラメータ τ を小さな固定値として使用可能であり、ソルバー内で τ = ϑ と設定することで、元の問題と同等になるように保証できる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般のDAEおよび不等式制約を伴う制約付き最適制御問題に対して、高次収束性を示す有限要素法を開発できるか？
• RQ2 正則化されたペナルティ・バリア汎関数の使用が、緩い仮定のもとで局所最適解への収束を保証するか？
• RQ3 解ベクトルの各成分に対して独立的かつ適応的メッシュリファインメントを可能にしつつ、収束性やスパース性を損なわないか？
• RQ4 得られるNLPをどのように構造化すれば、一般用途の非線形計画ソルバーによる効率的解法が可能になるスパース性パターンを保てるか？
• RQ5 内点法を用いてNLPをペナルティ項およびバリア項で再定式化する際、元の最適制御問題と同等になるように保てるか、特にパラメータの設定に依存するが？

主な発見

• 提案された有限要素法は、局所的強い凸性および有限要素空間内での正則化されたペナルティ・バリア汎関数のリプシッツ連続性といった緩い仮定のもとで、制約付き最適制御問題に対して高次収束性を達成する。
• 本手法は、解の各成分に対して独立的かつ成分別にメッシュリファインメントを可能にし、正則性や動的特性が異なる解成分を効率的に解像可能である。
• 得られるNLPは、有限要素基底関数に直接依存する構造的スパース性パターンを継承しており、線形代数演算における効率的利用が可能である。
• NLP定式化は、IPOPT や Knitro などの一般用途の内点法ソルバーと互換性を持つように設計されており、バリアパラメータ ϑ = τ と設定することで、元の問題と同等になるように保証できる。
• 数値実験の結果、四則点数が自由度数を上回る場合でも、本手法は妥当性を保つ一方で、他の定式化では不可能性になる場合がある。
• 本手法は、DAE、点制約、不等式制約を伴う複雑な最適制御問題を解くための、強固で柔軟なフレームワークを提供し、収束保証と実用的可解性を両立する。