[論文レビュー] High order correctors and two-scale expansions in stochastic homogenization

Yu Gu|arXiv (Cornell University)|Jan 29, 2016

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 22被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、i.i.d. 確率的係数を伴う離散的楕円型方程式の確率的均質化における高次補正項のモーメント評価を確立する。log-Sobolev 条件および次元制約（勾配に関しては d ≥ 2n−1、場に関しては d ≥ 2n+1）の下で、n 階補正項およびその勾配に対する一様モーメント推定を証明し、強い意味で第一および高次ランダムフラクチュエーションを特定する厳密な二尺度展開を可能にする。

ABSTRACT

In this paper, we study high order correctors in stochastic homogenization. We consider elliptic equations in divergence form on $\mathbb{Z}^d$, with the random coefficients constructed from i.i.d. random variables. We prove moment bounds on the high order correctors and their gradients under dimensional constraints. It implies the existence of stationary correctors and stationary gradients in high dimensions. As an application, we prove a two-scale expansion of the solutions to the random PDE, which identifies the first and higher order random fluctuations in a strong sense.

研究の動機と目的

• 第一階補正項を超える定量的均質化理論の拡張を、ランダム媒体における高次補正項の解析を通じて行う。
• 次元的制約および混合条件の下で、高次補正項およびその勾配に対する一様モーメント推定を確立する。
• 解の二尺度展開を導出し、強い意味で第一および高次ランダムフラクチュエーションを特定する。
• 高次元における定常補正項および定常勾配の存在を、モーメント評価を通じて示す。

提案手法

• i.i.d. なコンダクタンスが log-Sobolev 不等式を満たす離散的設定において、形式的二尺度展開を用いて n 階補正項を構成する。
• 生成子 (λ + ∇*a∇)ϕ_ξ^λ = −∇*aξ を含む正則化された補正項方程式を用いて、高次補正項 ψ_n^λ を定義する。
• log-Sobolev 不等式を用いて、スペクトルギャップおよび集中法的手法により、補正項およびその勾配のモーメントを制御する。
• 離散的および連続的 PDE の解を比較するために、離散グリーン関数の推定およびスケーリング論法を用いる。
• グリーン関数を含む差の L2 ノルム推定を通じて、離散解が均質化解に収束することを確立する。
• 優越収束および指数的減衰推定を用いて、ε → 0 の極限における近似の収束を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高次補正項が一様モーメント評価を満たすための次元的および混合条件は何か？
• RQ2 確率的 PDE の解における第一および高次ランダムフラクチュエーションは、強い意味でパスワイズに二尺度展開によって特定可能か？
• RQ3 補正項の存在と次元 d および補正項の順序 n の関係は何か？
• RQ4 高次補正項は、ランダム媒体における点ごとのフラクチュエーションと弱い大規模フラクチュエーションの乖離をどのように説明するか？
• RQ5 モーメント評価および収束論法を用いて、形式的二尺度展開を厳密にできるか？

主な発見

• n ≥ 2 および d ≥ 2n−1 のとき、n 階補正項 ψ_n^λ の勾配は、λ に依存しない一様 L^p モーメント評価を満たす。
• n ≥ 2 および d ≥ 2n+1 のとき、n 階補正項 ψ_n^λ 自身も、λ に依存しない一様 L^p モーメント評価を満たす。
• これらのモーメント評価は、高次元における定常補正項および定常勾配の存在を示唆する。
• 確率的 PDE の解に対する二尺度展開が厳密に確立され、強い意味で第一および高次ランダムフラクチュエーションが特定される。
• グリーン関数の指数的減衰に依存して、L2 ノルム推定および優越収束を用いて、離散解が均質化解に収束することが証明される。
• より弱い log-Sobolev 型条件の下でも一般 i.i.d. エンsembles に拡張可能であるが、本稿では単純化のため強いバージョンに焦点を当てる。