[論文レビュー] High-Order Curvilinear Finite Element Magneto-Hydrodynamics I: A Conservative Lagrangian Scheme

Jan Nikl, Milan Kuchařík+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 22, 2021

Computational Fluid Dynamics and Aerodynamics参考文献 53被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、曲線要素を用いた高次元、保存則を満たすラグランジュ有限要素法を、抵抗性磁流体力学（RMHD）に適用する。質量、運動量、磁束、全エネルギーの正確な保存を確保するとともに、磁場の発散なし条件を維持する。空間的収束は任意の次数を達成可能であり、安定性を確保するため抵抗性拡散項を陰的に取り扱う高次元時間積分法を採用する。

ABSTRACT

Magneto-hydrodynamics is one of the foremost models in plasma physics with applications in inertial confinement fusion, astrophysics and elsewhere. Advanced numerical methods are needed to get an insight into the complex physical phenomena. The classical Lagrangian methods are typically limited to the low orders of convergence and suffer from violation of the divergence-free condition for magnetic field or conservation of the invariants. This paper is the first part of a new series about high-order non-ideal magneto-hydrodynamics, where a multi-dimensional conservative Lagrangian method based on curvilinear finite elements is presented. The condition on zero divergence of magnetic field and conservation of mass, momentum, magnetic flux and the total energy are satisfied exactly. The curvilinear elements prevent entangling of the computational mesh and its imprinting into the solution. A high-order conservative time integration is applied, where an arbitrary order of convergence is attained for problems of ideal magneto-hydrodynamics. The resistive magnetic field diffusion is solved by an implicit scheme. Description of the method is given and multiple test problems demonstrating properties of the scheme are performed. The construction of the method and possible future directions of development are discussed.

研究の動機と目的

• 古典的な低次元スキームに起因する制限を克服する、抵抗性MHDのための高次元、保存則を満たすラグランジュ法の開発。
• 多次元シミュレーションにおいて、質量、運動量、磁束、全エネルギーの正確な保存を実現すること。
• 適切な変換則を用いたエッジベースの有限要素法により、磁場の発散なし制約を正確に維持すること。
• 曲線要素上の高次多項式基底関数を用いることで、任意の次数の空間的収束を達成すること。
• 磁場拡散の陰的時間積分スキームにより、抵抗性領域における安定性を確保すること。

提案手法

• 曲線要素上の弱ガレルキン法を用いて、RMHD方程式を空間的に離散化する。
• 磁場および電場にエッジベースの有限要素（ラヴィアル・トーマス型およびネデレック型）を用い、∇·B = 0 を正確に満たす。
• 等パラメトリック写像を用いて曲線要素を処理し、幾何的一致性を維持する。
• 理想および抵抗性MHDの両方に対して、保存則を満たす高次元時間積分スキーム（IMEXおよびRK2-Average法）を実装する。
• 移動するラグランジュフレームにおける弱形式に基づく半離散化式を用い、質量行列、剛性行列、フラックス行列を導出する。
• 整合的な数値フラックスを用いる離散的変分形式により、エネルギーバランスおよびポインティングベクトル構造を保存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 抵抗性MHDに適用可能な高次元、保存則を満たすラグランジュ有限要素法を構築可能か？ また、その際、主要な物理的不変量を正確に保存できるか？
• RQ2 高次元ラグランジュフレームにおいて、磁場の発散なし条件を正確にどのように実装できるか？
• RQ3 保存則および安定性を維持したまま、任意の次数の空間的収束をどの程度達成できるか？
• RQ4 抵抗性拡散項の陰的取り扱いが、スキームの安定性および精度にどのように影響するか？
• RQ5 非構造的曲線メッシュ上でも、保存則および幾何的一致性を維持できるか？

主な発見

• 理想MHD問題において、質量、運動量、磁束、全エネルギーの正確な保存が達成された。
• 適切な変換則を伴うエッジベースの有限要素法の採用により、磁場の発散なし条件が正確に満たされた。
• 理想MHDにおいて、理論的に任意の次数の空間的収束が達成され、数値的検証により最適収束率が確認された。
• 抵抗性磁場拡散の陰的スキームにより、強い圧縮下でも長時間シミュレーションにおいて安定性が確保された。
• テスト問題（例：磁場拡散、グルデリー型流れ）の数値ベンチマークにより、本手法の頑健性および精度が確認された。
• PETE2コードへの実装により、マルチフィジックスシミュレーションとの互換性が示され、非構造的曲線メッシュ上でも高次元精度が達成された。