[論文レビュー] High order explicit symplectic integrators for the Discrete Non Linear Schrödinger equation

Jehan Boreux, Timotéo Carletti+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 15, 2010

Numerical methods for differential equations参考文献 11被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、ヨシダの合成法に基づき、離散非線形シュレーディンガー方程式（DNLS）のための高次精度で明示的なシンプレクティック積分法の族を提示する。これにより、エネルギーおよび質量の保存性に優れ、長期間にわたる数値シミュレーションが可能になる。この手法は、明示的でありながら10次までの精度を達成し、非シンプレクティックおよび陰的スキームに比べ、長時間にわたる精度と安定性に優れている。

ABSTRACT

We propose a family of reliable symplectic integrators adapted to the Discrete Non-Linear Schrödinger equation; based on an idea of Yoshida (H. Yoshida, Construction of higher order symplectic integrators, Physics Letters A, 150, 5,6,7, (1990), pp. 262.) we can construct high order numerical schemes, that result to be explicit methods and thus very fast. The performances of the integrators are discussed, studied as functions of the integration time step and compared with some non symplectic methods.

研究の動機と目的

• 離散非線形シュレーディンガー方程式（DNLS）に対して高次精度で明示的なシンプレクティック積分法を開発すること。DNLSは可分なハミルトニアン構造を欠いており、標準的なシンプレクティック手法の適用が困難である。
• ガウス＝ラダウや生成関数に基づく陰的シンプレクティック法などの制限を克服すること。これらの手法はコストの高いニュートン反復を要し、大規模なDNLSシミュレーションには不適切である。
• 長期間にわたってエネルギー、質量、および共役関係 $\overline{p} = q$ といった重要な物理的保存量を保持すること。これは、ブレーター解や負の温度状態の研究に不可欠である。
• 時間ステップと積分法の次数の最適化を通じて、計算コストを最小限に抑えつつ機械精度に近いエネルギー保存性を達成すること。
• 非準可積分的性質を示すDNLS系であっても、ヨシダの合成技術を用いて導出された明示的高次シンプレクティックスキームが実用的かつ優れた性能を示すことを示すこと。

提案手法

• ヨシダの合成法を応用し、2次シンプレクティック写像の再帰的合成を用いて、次数2, 4, 6, 8, 10の高次シンプレクティック積分法を構築する。
• DNLS系のハミルトニアンを $ H = -i \sum_{l=1}^{N} \left[ \frac{(p_{l+1}-p_l)(q_{l+1}-q_l)}{h^2} - p_l^2 q_l^2 \right] $ と定義する。このハミルトニアンは運動エネルギーとポテンシャルエネルギーに分解できず、標準的な分割法が適用できない。
• 線形部分と非線形部分のハミルトニアンフローをそれぞれ $ L_A $ と $ L_B $ とし、$ \exp(L_A) $ および $ \exp(L_B) $ の積分写像を構築する。$ \exp(L_B) $ についてはベクトル・マトリクス積を用いる。
• 最適化された係数 $ (c_j, d_j) $ を用いて $ \exp(L_A) $、$ \exp(L_B) $ 及びその時間反転写像の合成を実装し、シンプレクティック性と高次精度を保証する。
• Yoshidaの方法の改善版（$ Y^{\text{opt}}_{2m} $）を用いて、合成ステップ数を削減することで、計算コストを低減しつつ次数を維持する。
• FFTに基づく手法を活用し、$ \exp(L_B) $ のフーリエ型構造を活かして計算を高速化し、$ \mathcal{O}(N^2) $ の計算コストを $ \mathcal{O}(N \log N) $ に削減する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可分なハミルトニアン構造を欠くDNLS系に対して、高次精度で明示的なシンプレクティック積分法を構築可能か。これは標準的なシンプレクティック分割法の適用を困難にする。
• RQ2 提案されたシンプレクティック積分法のエネルギーおよび質量保存性は、非シンプレクティックおよび陰的スキームと比較して、長時間積分においてどのように異なるか。
• RQ3 目的の精度とエネルギー保存性を達成するための、積分法の次数、時間ステップサイズ、計算コスト（CPU時間）のトレードオフは何か。
• RQ4 初期時 $ t = 0 $ で $ \overline{p(t)} = q(t) $ が成立する場合、数値スキームがこの共役関係をどの程度正確に保持するか。
• RQ5 提案された手法は、大きな時間ステップを用いても機械精度に近いエネルギー保存を達成できるか。これにより、DNLSにおける長時間的漸近的ダイナミクスの効率的シミュレーションが可能になるか。

主な発見

• 提案された高次精度明示的シンプレクティック積分法（$ Y_{2m} $）は、$ Y_4 $ では $ \tau \sim 10^{-3} $、$ Y_6 $ では $ \tau \sim 10^{-2} $ の時間ステップを用いた場合、相対エネルギー誤差が $ 10^{-15} $ 未満に保たれ、優れた長期的エネルギー保存性を示している。
• 質量積分 $ I = \sum_l p_l q_l $ は機械精度に近い精度で保存され、本手法の主要な物理的保存量の維持能力を裏付けている。
• 初期時 $ t = 0 $ で $ \overline{p(t)} = q(t) $ が成立する場合、数値的にこの共役関係が保持される。これはボーズ＝アインシュタイン凝縮などの物理系のモデル化において極めて重要な性質である。
• CPU時間は、固定された積分法次数では $ 1/\tau $ の割合で増加し、固定された $ \tau $ では次数 $ 2m $ に対して $ 3^m $ の指数的増加を示す。しかし、最適化された $ Y^{\text{opt}}_{2m} $ 版では、標準的な $ Y_{2m} $ と比較して、$ Y_6 $ で1.5倍、$ Y_8 $ で2.2倍の計算コスト削減が達成されている。
• 同等の精度を求める場合、$ Y_6(\tau = 10^{-2}) $ は $ Y_4(\tau = 10^{-3}) $ よりもCPU時間を短縮しており、$ Y_8(\tau = 2 \times 10^{-2}) $ は $ Y_6(\tau = 10^{-2}) $ よりも効率的である。これは、高次スキームが大きな時間ステップでより効率的である可能性を示している。
• 修正されたルンゲ＝クッタ4次法（RK4）は $ Y_4 $ より速いが、$ Y^{\text{opt}}_6 $ よりは遅く、標準的なRK4は $ Y_4 $ よりも著しくコストが高くなる。これは、シンプレクティック手法が精度と効率の点で優れていることを強力に示している。