[論文レビュー] High order exponential integrators for nonlinear Schrödinger equations with application to rotating Bose-Einstein condensates

Christophe Besse, Guillaume Dujardin+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 2, 2015

Numerical methods for differential equations参考文献 3被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、回転するボーズ＝アインシュタイン凝縮（BEC）をモデル化する非線形シュレーディンガー方程式を解くために、高次指数積分法——特に指数ルンゲ＝クッタ（ERK）法およびローウェン法——を提案する。回転項を除去するための変数変換により、非-autonomousな非線形シュレーディンガー方程式が得られ、高次精度と優れた収束性を達成する。特に、誤差定数が小さいため、長時間シミュレーションにおいて、古典的なスプリット・ステップ法よりも精度と計算効率に優れる。

ABSTRACT

This article deals with the numerical integration in time of nonlinear Schrödinger equations. The main application is the numerical simulation of rotating Bose-Einstein condensates. The authors perform a change of unknown so that the rotation term disappears and they obtain as a result a nonautonomous nonlinear Schrödinger equation. They consider exponential integrators such as exponential Runge--Kutta methods and Lawson methods. They provide an analysis of the order of convergence and some preservation properties of these methods in a simplified setting and they supplement their results with numerical experiments with realistic physical parameters. Moreover, they compare these methods with the classical split-step methods applied to the same problem.

研究の動機と目的

• 回転するボーズ＝アインシュタイン凝縮（BEC）のダイナミクスに生じる非-autonomous非線形シュレーディンガー方程式に対する高次時間積分法の開発。
• 簡略化されたソボレフ空間フレームワークにおいて、指数ルンゲ＝クッタ法およびローウェン法の収束性および保存性に関する分析。
• これらの指数積分法と古典的なスプリット・ステップ法との間で、精度、保存量の保存性、計算コストの観点から性能を比較。
• 回転および異方的トラップポテンシャルを有する現実的な2次元BECシミュレーションにおいて、本手法の有効性を示すこと。
• 指数積分法が、長時間積分においてスプリット法に共通する共鳴現象を回避できることを示すこと。

提案手法

• 回転するBEC方程式を変数変換により回転項を除去し、非-autonomous非線形シュレーディンガー方程式に変換する。
• 変換された方程式に指数ルンゲ＝クッタ（ERK）法およびローウェン法を適用し、線形作用素の指数を用いて線形部を正確に積分する。
• 境界条件を回避し、ラプラシアンのスペクトル的計算を簡素化するために、周期的トーラス領域 $\mathbb{T}_\delta^d$ を用いる。
• 誤差定数を低くし、高精度を達成するため、段数が高く、次数6のガウス型ERKおよびローウェン法を実装する。
• 2次元シミュレーションにおいて特に高い空間精度を達成するため、フーリエスペクトル法による擬スペクトル空間離散化を用いる。
• 1次元および2次元のテストケースにおいて、運動量、質量、エネルギーの各誤差ノルム $\mathcal{E}_{P,h}$, $\mathcal{E}_{M,h}$, および $\mathcal{E}_{E,h}$ を用いて、手法を比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高次指数積分法は、回転するBECシミュレーションにおいて、古典的なスプリット・ステップ法よりも優れた精度を達成できるか？
• RQ2 指数ルンゲ＝クッタ法およびローウェン法は、正確に保存量を保つわけではないが、スプリット法と同等の精度で質量その他の保存量を保存できるか？
• RQ3 非-autonomousで物理的に現実的な設定下で、ERK法およびローウェン法の誤差定数および収束率は、スプリット法と比較してどうなるか？
• RQ4 指数積分法は、長時間積分においてスプリット法に共通する共鳴現象を回避できるか？
• RQ5 現実的な2次元BEC問題において、陰的指数法の計算効率は、陽的スプリット法よりも優れているか？

主な発見

• ガウス-ERK法は、ローウェン法およびスプリット法よりも顕著に低い誤差定数を達成し、すべてのテスト設定において優れた有限時間精度を示す。
• 時間刻みが $10^{-4}$ のオーダーのとき、ガウス-ERK法の相対的質量誤差は、質量を正確に保存するローウェン法およびスプリット法と同等の水準にとどまるが、正確な保存性は保証されない。
• 1次元シミュレーションにおいて、ガウス-ERク法の計算時間は、陰的であるにもかかわらず、ローウェン法およびスプリット法を下回る。
• ガウス-ERK法は長時間シミュレーションにおいて共鳴現象を示さず、一方でスプリット法はそのような不安定性を示す。
• パラメータ $\beta=1000$, $\Omega=0.9$, $\gamma_x=1.05$, $\gamma_y=0.95$ を有する現実的な2次元シミュレーションにおいて、ガウス-ERK法は先行研究で観測されたボーリング・ラティス構造を正確に再現した。
• 本手法は、非対称な二次ポテンシャルや二次・四次ポテンシャルを含む一般の閉じ込めポテンシャルに対しても有効であり、この場合、擬スペクトル法では失敗する。