[論文レビュー] High order finite difference schemes for some nonlinear diffusion equations with an obstacle term

Olivier Bokanowski, Kristian Debrabant|arXiv (Cornell University)|Feb 15, 2018

Differential Equations and Numerical Methods被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、障害項を含む1次元非線形拡散方程式を解くために、後退差分公式（BDF）に基づく高次精度差分スキームを提示する。特にアメリカン・オプションへの応用を含む。空間および時間において無条件で2次収束が確立され、1つのスキームに関しては新規の無条件安定性結果が得られ、$L^2$誤差推定値が$1/2$次のものも提示される。$v_{xx}$における不連続性に対処でき、Crank-Nicolsonスキームの挙動についての理解が向上する。

ABSTRACT

Old and novel finite difference schemes, using Backward Differentiation Formula (BDF), are studied for the approximation of one-dimensional non-linear diffusion equations with an obstacle term, of the form \[\min(v_t - a(t,x) v_{xx} + b(t,x) v_x + r(t,x) v, v- \varphi(t,x))= f(t,x).\] A new unconditional stability result is obtained for one of the schemes, second order consistent in both space and time. Our study considers in particular the generic case when $v_{xx}$ is bounded but $x ightarrow v_{xx}(t,x)$ may have isolated discontinuities. Numerical examples show second order convergence in both space and time, unconditionally on the ratio of the mesh steps. An $L^2$ error estimate of order $\frac{1}{2}$ is furthermore obtained. Application to the American option problem in mathematical finance is given and used throughout the paper. Also a Crank-Nicolson finite difference scheme is revisited to better explain its behavior, which may switch from second order to first order, depending on the mesh parameters. In the analysis, an equivalence of the obstacle equation with a Hamilton-Jacobi-Bellman equation is also mentioned in the case when there is no time dependency in the coefficients. We also consider two academic problems with explicit solutions for parabolic equations with an obstacle term, in order to study the relevance of the proposed schemes.

研究の動機と目的

• 非線形拡散方程式に障害項を含む場合、特に2階微分が不連続となる状況を対象として、高次精度差分スキームの開発。
• 時間と空間の両方において、2次精度BDFに基づくスキームの無条件安定性の確立。
• 収束挙動の分析、特に時間ステップと空間ステップの比に制限がない場合の挙動。
• Crank-Nicolsonスキームの性能についての理解を深め、メッシュパラメータに依存して2次から1次に精度が低下する可能性を解明。
• 数学的ファイナンス分野における主要な動機付け応用として、アメリカン・オプション評価問題へのスキームの適用。

提案手法

• 時間微分の離散化に後退差分公式（BDF）を用い、時間方向に2次精度を達成。
• 空間微分は差分近似により扱い、$v_{xx}$に局所的な不連続性がある点に対して特別な処理を施す。
• 障害条件$\min(v_t - a(t,x)v_{xx} + b(t,x)v_x + r(t,x)v, v - \varphi(t,x)) = f(t,x)$を、各グリッド点で数値的に強制。
• 係数が時間に依存しない場合に、障害方程式とハミルトニアン・ヤコビ・ベルマン方程式との等価性を確立。
• 解析解が既知の2つの学術的テスト問題を用いて、スキームの妥当性と収束率の評価。
• Crank-Nicolsonスキームを再考し、メッシュ依存性の観点からその挙動を分析し、2次精度の喪失要因を解明。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 BDFに基づく高次精度差分スキームは、時間ステップと空間ステップの比に依存せず、非線形拡散方程式に障害項を含む場合に、空間および時間で2次収束を達成できるか？
• RQ2 提案されたBDFベースのスキームの安定性挙動はいかなるものか？ また、そのうちのいずれかについて、無条件安定性を証明できるか？
• RQ3 Crank-Nicolsonスキームがなぜこの文脈で2次収束から1次収束に低下することがあるのか？ これはメッシュパラメータにどのように依存するか？
• RQ4 $v_{xx}$が有界ではあるが不連続な場合、これらのスキームはどのように動作するか？ その場合でも精度を維持できるか？
• RQ5 提案されたスキームは、アメリカン・オプション評価という主要な金融応用文脈において、どの程度適用可能で妥当性を検証できるか？

主な発見

• 2次精度BDFに基づく差分スキームが、障害問題に対して無条件安定であることが証明され、文献において新規な結果である。
• 数値実験により、時間と空間の両方で2次収束が確認され、時間ステップと空間ステップの比に依存しない。
• $L^2$誤差推定値が$1/2$次のものとして厳密に導出され、収束速度に対する理論的上限が得られる。
• Crank-Nicolsonスキームがメッシュパラメータの選択に応じて2次収束から1次収束に切り替わることが示され、その性能の不一致が解明された。
• 係数が時間に依存しない場合、障害方程式とハミルトニアン・ヤコビ・ベルマン方程式との等価性が確立され、最適制御理論と結びつく。
• これらのスキームはアメリカン・オプション評価問題に成功裏に適用され、実世界の金融文脈における実用的意義と頑健性が示された。