[論文レビュー] High-order finite elements on pyramids: approximation spaces, unisolvency and exactness

Nilima Nigam, Joel Phillips|arXiv (Cornell University)|Oct 5, 2006

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 26被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、有理基底関数を用いたピラミッドメッシュ上の高次有限要素の族を提示し、$H^1$、$H(\operatorname{curl})$、$H(\operatorname{div})$、$L^2$ 空間において一意的可解性、適合性、正確性を保証する。主な貢献は、適合性、高次近似、および可換図式性質を満たす構成であり、ハイブリッドな四面体-六面体-ピラミッドメッシュ上での安定かつ適合する有限要素法を可能にする。

ABSTRACT

We present a family of high-order finite element approximation spaces on a pyramid, and associated unisolvent degrees of freedom. These spaces consist of rational basis functions. We establish conforming, exactness and polynomial approximation properties.

研究の動機と目的

• ハイブリッドな四面体-六面体メッシュに使用するため、ピラミッド要素上の高次適合有限要素を開発すること。
• 共有される面上および辺における自由度を標準的な四面体および六面体有限要素と一致させることで、標準的な四面体および六面体有限要素との適合性を確保すること。
• $H^1$、$H(\operatorname{curl})$、$H(\operatorname{div})$、$L^2$ のすべての関連ソボレフ空間に対して、近似空間の一意的可解性と正確性を確立すること。
• 微分作用素 $\nabla$、$\nabla\times$、$\nabla\cdot$ と補間作用素 $\Pi^{(s)}$ の可換性を保証することで、離散状態における de Rham 複体構造を保存する可換図式性質を満たすこと。
• ヘンジング・ノードを回避する必要がある複雑な3次元幾何形状を扱うための安定的かつ高次の有限要素フレームワークを提供すること。

提案手法

• 無限大の参考ピラミッド $\Omega_\infty$ からの有理変換を用いて、有限ピラミッド $\Omega$ に写像される有理基底関数を用いて近似空間 $\mathcal{U}^{(s),k}(\Omega)$ を構築する。
• すべての多項式次数 $k$ および $s=0,1,2,3$（それぞれ $H^1$、$H(\operatorname{curl})$、$H(\operatorname{div})$、$L^2$ 空間に対応）に対して形状関数を導出する。
• 無限大ピラミッド上での回転不変構造を用いて、辺、面、体積の代表的形状関数を分類・生成する。
• これらの関数を逆引きプッシュバックすることで、有限ピラミッドに写像し、不変性を保ちつつ一意的可解性を確保する。
• 自由度 $\Sigma^{(s),k}$ の基底を構築することで、一意的可解性を検証し、形状関数を一意に決定する。
• 補間作用素 $\Pi^{(s)}$ が微分作用素 $\nabla$、$\nabla\times$、$\nabla\cdot$ と可換であることを保証することで、可換図式性質を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準的な四面体および六面体要素と自由度を一致させることで、ピラミッド要素上に高次適合有限要素を構築可能か？
• RQ2 提案された有理基底関数は、すべての関連ソボレフ空間に対して一意的可解性と正確性を保証するか？
• RQ3 離散状態において、ピラミッド要素上での de Rham 複体に対して可換図式性質が保たれるか？
• RQ4 近似空間は、任意の $p$ に対して次数 $p$ のすべての多項式を含み、高次多項式完全性を達成できるか？
• RQ5 四面体、六面体、ピラミッドを含むハイブリッドメッシュにおいて、この構成は安定的かつ適合的か？

主な発見

• 提案された有限要素空間 $\mathcal{U}^{(s),k}(\Omega)$ は $s=0,1,2,3$ に対して一意的可解かつ適合的であり、離散問題の解が一意に定まることを保証する。
• 近似空間にはすべての次数 $k$ の多項式が含まれており、高次近似性質 P2 を満たす。
• 面および辺における自由度が、標準的な四面体および六面体要素と一致しており、適合性（P1）が保証される。
• 可換図式性質（2）が満たされ、離散状態において de Rham 複体構造が保存される。
• 形状関数は、無限大ピラミッドから導かれた有理基底関数を用いて明示的に構築されており、ベクトル場およびスカラー場の正確な表現が可能である。
• 既知の一次元要素（例：ホイットニー要素）を一般化し、任意の次数 $k$ にまで拡張している。