[論文レビュー] High-order implicit palindromic discontinuous Galerkin method for kinetic-relaxation approximation

David Coulette, Emmanuel Franck+3 more|arXiv (Cornell University)|Feb 13, 2018

Lattice Boltzmann Simulation Studies参考文献 51被引用数 24

ひとこと要約

本稿では、高次の陰的・行列非依存型不連続ガラーキン法を、反転時間積分スキームに基づいて、力学的緩和近似を用いた双曲型保存則を解くために提示する。陰的DGソルバと剛性に適した対称時間構成法を組み合わせることで、任意の次数の空間的・時間的精度を達成しつつ、CFL条件に依存しない安定性と計算効率を維持する。これは、緩和時間τが0に近づく極限でも成立する。

ABSTRACT

We construct a high order discontinuous Galerkin method for solving general hyperbolic systems of conservation laws. The method is CFL-less, matrix-free, has the complexity of an explicit scheme and can be of arbitrary order in space and time. The construction is based on: (a) the representation of the system of conservation laws by a kinetic vectorial representation with a stiff relaxation term; (b) a matrix-free, CFL-less implicit discontinuous Galerkin transport solver; and (c) a stiffly accurate composition method for time integration. The method is validated on several one-dimensional test cases. It is then applied on two-dimensional and three-dimensional test cases: flow past a cylinder, magnetohydrodynamics and multifluid sedimentation.

研究の動機と目的

• 複数の時間スケールを有する双曲型保存則を解く課題に取り組み、特にCFL条件によって制限されるexplicitスキームの限界を克服する。
• 剛性緩和系において一般的に見られる数値的拡散と次数低下の問題を克服する。
• τ → 0 の極限においても精度を保つ、高次の、無条件安定な時間積分法を開発する（漸近的保存性を満たす）。
• 行列非依存型・低記憶実装を実現し、計算複雑度をexplicitスキームと同等に保つことで、大規模シミュレーションを効率的に行う。
• 複雑な幾何形状および多次元問題（MHDや多相流など）への拡張を図りつつ、高次精度を維持する。

提案手法

• 小さな緩和時間τでパラメータ化された剛性緩和源項を有する、ベクトル型力学的定式化により、元の双曲型保存則系を表現する。
• 行列非依存型陰的不連続ガラーキン法を用いて輸送方程式を解き、得られる線形系の三角行列構造を活用し、低コストで明示的に解を求める。
• 時間積分に反転（対称時間）構成法を用い、τ → 0 の極限でも2次精度を保証する。
• 低次の反転スキームを組み合わせることで、6次までの高次時間積分スキームを構築し、安定性と精度を維持する。
• 輸送方程式の可逆性を活用することで、時間積分スキームが剛性に適しており、漸近的保存性（AP）を保つように設計する。
• 領域分割を用いた並列実装を実施し、局所的線形解法とグローバル通信の効率的処理を実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 剛性双曲型系に対して、CFL条件に依存せず、計算効率を維持する高次陰的・行列非依存型DGスキームを構築可能か？
• RQ2 反転時間積分を用いることで、緩和時間τ → 0 の極限においても2次精度をどのように維持できるか？
• RQ3 特に多次元および非線形系において、τ → 0 の極限で漸近的保存性（AP）をどの程度保持できるか？
• RQ4 空間的・時間的両方で任意の次数の精度を達成しつつ、低記憶および計算コストを抑えることは可能か？
• RQ5 本手法は、円柱周りの流れ、MHD、多相流沈降といった複雑な実世界問題において、どの程度の性能を示すか？

主な発見

• 反転構成法を用いることで、空間的・時間的両方で任意の次数の精度を達成でき、テストケースにおいて4次および6次収束が確認された。
• 陰的DGソルバは行列非依存であり、線形系の三角行列構造のおかげで、explicitスキームと同等の計算コストを実現し、並列計算に適している。
• CFL条件に依存しない安定性（CFL-less）を維持し、τ → 0 の極限でも2次精度を保つ。これは、漸近的保存性（AP）の確認である。
• 数値的結果から、1次元の滑らかでない解および不連続解に対しても、数値的拡散が最小限で、衝撃波の高分解能を実現している。
• 本手法は、MHDや多相流のレイノルズ＝ターレイ・不安定性を含む、2次元および3次元の複雑な流れを、高精度かつ安定してシミュレートできた。
• ノースリップおよび厚い境界条件を有する円柱周りの流れに対しても、本手法の複雑な幾何形状および境界処理への適応能力が検証された。