[論文レビュー] High-order Kirchhoff problems in bounded and unbounded domains

Mohamed Karim Hamdani, Abdellaziz Harrabi|arXiv (Cornell University)|Jul 29, 2018

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 25被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、有界および非有界領域におけるm-多項型作用素を含む高次のキルヒホッフ問題に対して、無限個の解の存在を確立する。特にℝᴺにおけるゼロ質量の場合も含む。著者らは、第一固有値に類似した新たな量λₘを導入し、W₀ʳᵐ(Ω)におけるシューディン型基底を用いることで、fが原点近辺で制御されていなくても、変分的手法を退化および非有界な設定へと拡張する。

ABSTRACT

Consider the following $m-$polyharmonic Kirchhoff problem: \begin{eqnarray} \label{ea} \begin{cases} M\left(\int_Ø|D_r u|^{m} +a|u|^m ight)[Δ^r_m u +a|u|^{m-2}u]= K(x)f(u) &\mbox{in}\quad Ω, \\ u=\left(\frac{\partial}{\partial ν} ight)^k u=0, \quad &\mbox{on}\quad \partialΩ, \quad k=1, 2,..... , r-1, \end{cases} \end{eqnarray} where $r \in \N^*$, $m >1$, $N\geq rm+1$, $a\geq 0$, $K\in L^{\infty}(Ø)$ is a positive weight function, $M \in C([0,+\infty))$ and $f\in C(\mathbb{R})$ which will be specified later. We will study problem \eqref{ea} in the following different type of domains: \begin{enumerate} \item $a=0$ and $K\in L^{\infty}(Ø)$ is a positive weight function if $Ω$ is a smooth bounded domain of $\R^N$. \item $a>0$ and $K\in L^{\infty}(Ø)\cap L^{p}(Ø)$, $p \geq 1$ if $Ω$ is an unbounded smooth domain. \item $Ø=\R^N$ and $a=0$ (which called the $mγ$-zero mass case). \end{enumerate} We prove the existence of infinitely many solutions of \eqref{ea} for some odd functions $f$ in $u$ satisfying subcritical growth conditions at infinity which are weaker than the analogue of the Ambrosetti-Rabinowitz condition and the standard subcritical polynomial growth. The new aspect consists in employing the Schauder basis of $W_0^{r,m}(Ø)$ to verify the geometry of the symmetric mountain pass theorem without any control on $f$ near $0$ if $Ω$ is a bounded domain and under a suitable condition at $0$ if $Ω$ is a unbounded domain allowing only to derive the variational setting of \eqref{ea}. Moreover, we introduce a positive quantity $λ_M$ similar to the first eigenvalue of the $m$-polyharmonic operator to find a mountain pass solution.

研究の動機と目的

• 有界および非有界領域におけるm-多項型作用素を含む高次のキルヒホッフ問題に対して、無限個の解の存在を確立すること。
• M(τ)がτ=0で消失する可能性がある退化キルヒホッフ問題に変分的手法を拡張し、強制性の欠如を克服すること。
• 標準的なソボレフ埋め込みが失敗するゼロ質量ケース（a=0, Ω=ℝᴺ）を、新たな関数的設定で取り扱うこと。
• fの弱い成長条件のもとで、非退化および退化したm-多項型キルヒホッフ問題の変分的枠組みを構築すること。
• m-多項型作用素の第一固有値に類似した新たな量λₘを導入し、マウンテンパス解を構成すること。

提案手法

• m-ラプラシアンの繰り返し適用によりΔʳₘを定義し、rが奇数および偶数の場合を区別する。
• E = W₀ʳᵐ(Ω)を、||u||ᵐ = ∫(|Dʳu|ᵐ + a|u|ᵐ)で定義されるノルムを備えた空間とし、Dʳuをr階微分作用素とする。
• λₘをu ∈ E extbackslash {0} に対して ||u||ᵐ / ∫|u|ᵐᵞ の下界として定義し、第一固有値に類似した性質を持たせ、エネルギー汎関数の制御に用いる。
• W₀ʳᵐ(Ω)におけるシューディン型基底を用いて、fが原点近辺で制御されていなくても、対称的マウンテンパス幾何を確認する。
• Mに関する仮定(M₁)–(M₃)およびfに関する(H₂)、(H₃′)を仮定し、m ≥ 2の場合は対称的マウンテンパス定理と(P S)条件、1 < m < 2の場合は(C)条件を適用する。
• 新たなλₘとfの弱い成長条件を用いて、I(u) ≥ α > 0（||u|| = ρのとき）およびI(tφ) < 0（十分大きなtのとき）を示し、マウンテンパス幾何を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 fが原点近辺で制御されていなくても、非有界領域における高次のキルヒホッフ問題に、対称的マウンテンパス定理を適用できるか？
• RQ2 M(τ)がτ=0で消失する可能性がある退化キルヒホッフ問題に、変分的枠組みをどのように拡張できるか？
• RQ3 新たな量λₘは、m-多項型キルヒホッフ問題におけるマウンテンパス解の構成において、果たす役割は何か？
• RQ4 W₀ʳᵐ(Ω)のシューディン型基底は、fが原点近辺で制御されていなくても、対称的マウンテンパス幾何を確認するためにどのように利用できるか？
• RQ5 ゼロ質量ケース（a=0, Ω=ℝᴺ）は、新たな関数的設定と固有値に類似した量λₘを用いて変分的に取り扱えるか？

主な発見

• 本稿では、fの弱い成長条件のもとで、有界および非有界領域におけるm-多項型キルヒホッフ問題に対して、無限個の解の存在を証明する。
• Ωが有界の場合、fが原点近辺で制御されていなくても、W₀ʳᵐ(Ω)におけるシューディン型基底の使用により、解の存在が保証される。
• 非有界領域では、fの原点における適切な条件が要求されるが、アムブロセッティ＝ラビノウィッツ条件のような強い仮定を回避できる。
• m-多項型作用素の第一固有値に類似した新たな量λₘの導入により、マウンテンパス解の構成が可能になる。
• マウンテンパス幾何は、新たなエネルギー推定：I(u) ≥ α > 0（||u|| = ρのとき）およびI(tφ) < 0（十分大きなtのとき）により、λₘとfの弱い成長性を用いて確認される。
• 仮定(M₁)–(M₃)のもとで、ペイレス＝スメイルまたはセラミ条件が満たされ、エネルギー汎関数の臨界点の存在が保証される。