[論文レビュー] High-order numerical method for two-dimensional Riesz space fractional advection-dispersion equation

A. Borhanifar, Maria Alessandra Ragusa+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 7, 2020

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 27被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、分数中心差分と交替方向隠し（ADI）スキームに基づく4次精度の有限差分法を、2次元リーマン空間分数マニフェスト分散方程式を解くために提案する。この手法は、4次精度の空間離散化と2次精度のクランク・ニコルソン時間スキームを組み合わせており、空間で4次収束、時間で2次収束を達成し、高い精度と安定性を示す。数値例により検証されている。

ABSTRACT

In this paper, by combining of fractional centered difference approach with alternating direction implicit method, we introduce a mixed difference method for solving two-dimensional Riesz space fractional advection-dispersion equation. The proposed method is a fourth order centered difference operator in spatial directions and second order Crank-Nicolson method in temporal direction. By reviewing the consistency and stability of the method, the convergence of the proposed method is achieved. Several numerical examples are considered aiming to demonstrate the validity and applicability of the proposed technique.

研究の動機と目的

• 非局所性と分数微分の低正則性のため、解きにくい2次元リーマン空間分数マニフェスト分散方程式（RSFADE）を解くための高次数値法を開発すること。
• 2次元 RSFADE に対する効率的で正確な数値スキームの不足を補うために、分数量心差分と交替方向隠し（ADI）手法を組み合わせること。
• 安定性と収束性を保証する理論的分析を通じて、空間で4次精度、時間で2次精度を達成すること。
• 既知の正確解を有する数値実験を通じて、手法の性能と収束次数を包括的に検証すること。

提案手法

• 本手法は、x方向およびy方向におけるリーマン空間分数微分に対して、4次精度の分数量心差分近似を用いる。
• 時間方向離散化にはクランク・ニコルソン法を適用し、2次精度と無条件安定性を確保する。
• 2次元問題を1次元部分問題に分割することで計算効率を向上させるために、交替方向隠し（ADI）技術を用いる。
• 高次精度を維持しつつ、得られる線形方程式系を効率的に解けるように、修正されたクランク・ニコルソン ADI 形式を構築する。
• ボン・ネウマン安定性解析と切り捨て誤差推定を用いて安定性と整合性を分析し、ラクスの等価定理により収束性を証明する。
• 均一な空間的・時間的グリッドを用いて実装し、問題のサイズに応じて反復法または直接法で線形方程式系を解く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次元リーマン空間分数マニフェスト分散方程式に対して、高次空間精度と高次時間精度を両立する高次数値スキームを開発可能か？
• RQ2 分数量心差分と ADI-クランク・ニコルソンスキームの組み合わせにより、2次元 RSFADE に対して安定かつ収束する手法が得られるか？
• RQ3 提案手法の実際の収束速度は空間方向および時間方向でどの程度であり、理論的次数と一致するか？
• RQ4 特にグリッドの細分化を伴う場合に、既知の正確解を有する2次元 RSFADE を解く際の、本手法の効率性と正確性はいかがなものか？

主な発見

• 空間方向に4次収束を達成しており、空間ステップサイズを小さくする数値実験により、収束率が約3.9～3.96であることが確認された。
• 時間方向に2次収束を示し、時間ステップサイズを細かくした際の推定収束率は1.92～1.96であり、理論的次数と一致した。
• 最大絶対誤差はグリッドの細分化に伴い著しく減少した。例えば、例6.2において $ h_x = h_y = 0.00625\theta $ のとき、誤差は $ 8.13 \times 10^{-9} $ にまで低下した。
• 変動する分数階数や分散係数を含むさまざまなパrameterセットに対しても、安定性と正確性を維持しており、頑健性が示された。
• 複雑な源項や滑らかでない初期条件に対しても、低誤差と一貫した収束行動を示すことで、計算効率が裏付けられた。
• 理論的分析により整合性と無条件安定性が確認され、ラクスの等価定理により数値スキームの収束性が保証された。