[論文レビュー] High-order numerical methods for the Riesz space fractional advection-dispersion equations

Libo Feng, Pinghui Zhuang+3 more|arXiv (Cornell University)|Mar 31, 2020

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 30被引用数 32

ひとこと要約

著者らは、Riesz space fractional advection-dispersion equations のために、weighted and shifted Grünwald difference operators を用いた高次の有限差分スキームを開発し、無条件安定性と二次収束を証明し、Richardson extrapolation によって精度を四次まで向上させる；数値例で検証する。

ABSTRACT

In this paper, we propose high-order numerical methods for the Riesz space fractional advection-dispersion equations (RSFADE) on a {f}inite domain. The RSFADE is obtained from the standard advection-dispersion equation by replacing the first-order and second-order space derivative with the Riesz fractional derivatives of order $α\in(0,1)$ and $β\in(1,2]$, respectively. Firstly, we utilize the weighted and shifted Grünwald difference operators to approximate the Riesz fractional derivative and present the {f}inite difference method for the RSFADE. Specifically, we discuss the Crank-Nicolson scheme and solve it in matrix form. Secondly, we prove that the scheme is unconditionally stable and convergent with the accuracy of $\mathcal {O}(τ^2+h^2)$. Thirdly, we use the Richardson extrapolation method (REM) to improve the convergence order which can be $\mathcal {O}(τ^4+h^4)$. Finally, some numerical examples are given to show the effectiveness of the numerical method, and the results are excellent with the theoretical analysis.

研究の動機と目的

• 有限領域における Riesz space fractional advection-dispersion equations の正確な数値解を動機づける。
• weighted and shifted Grünwald difference operators に基づく Crank-Nicolson有限差分スキームを開発する。
• スキームの無条件安定性と収束性を証明する。
• Richardson extrapolation によって収束次数を高める。
• RFDE/RFADE ケースを用いた数値実験を通じて効率と精度を示す。

提案手法

• Riesz fractional derivatives を weighted and shifted Grünwald difference (WSGD) operators を用いて近似する。
• Crank-Nicolson法で時間離散化して行列形 (I+D)U^n = (I−D)U^{n-1} を得る。
• 得られた作用素 D が厳密に対角支配的であり、(I+D) が可逆であることを示す。
• τ^2 + h^2 の精度でスキームの無条件安定性と収束性を証明する。
• Richardson extrapolation を適用して O(τ^4 + h^4) の精度を達成する。
• Grünwald weights と WSGD の性質に関する補助定理を用いて理論を補強する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限区間において高次の有限差分スキームは RSFADE の Riesz space fractional derivatives を正確に近似できるか？
• RQ2 Crank-Nicolson-based scheme は無条件安定かつ収束するか、そしてその収束性を Richardson extrapolation によって高めることができるか？
• RQ3 αとβを変化させた RFDE/RFADE の数値実験で観察される実用的な収束速度はどの程度か？
• RQ4 境界条件を伴う interior-point discretization での行列表現の性能はどうなるか？

主な発見

• The proposed CN–WSGD scheme achieves unconditional stability.
• The scheme converges with O(τ^2 + h^2) accuracy.
• Richardson extrapolation improves convergence to O(τ^4 + h^4).
• Numerical examples confirm second-order convergence and the effectiveness of REM in achieving fourth-order accuracy.
• The discrete operator D is strictly diagonally dominant and symmetric positive definite, ensuring invertibility and stability.
• Results are consistent with theoretical analysis across RFDE and RFADE cases with various α and β values.