[論文レビュー] High order schemes based on operator splitting and deferred corrections for stiff time dependent PDEs

Max Duarte, Matthew Emmett|arXiv (Cornell University)|Jul 1, 2014

Numerical methods for differential equations参考文献 30被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、作用素分割と繰り返し遅れ補正を組み合わせることで、剛性のある時間依存PDEに対する高次時間積分法を提示している。低次の分割解法を用いてコロケーションノードにおける初期近似を生成し、その後、四則演算に基づく陰的ルンゲ＝クッタ法を用いて反復的に補正することで、安定性と効率を保ちつつ高次精度を達成する。

ABSTRACT

We consider quadrature formulas of high order in time based on Radau-type, L-stable implicit Runge-Kutta schemes to solve time dependent stiff PDEs. Instead of solving a large nonlinear system of equations, we develop a method that performs iterative deferred corrections to compute the solution at the collocation nodes of the quadrature formulas. The numerical stability is guaranteed by a dedicated operator splitting technique that efficiently handles the stiffness of the PDEs and provides initial and intermediate solutions to the iterative scheme. In this way the low order approximations computed by a tailored splitting solver of low algorithmic complexity are iteratively corrected to obtain a high order solution based on a quadrature formula. The mathematical analysis of the numerical errors and local order of the method is carried out in a finite dimensional framework for a general semi-discrete problem, and a time-stepping strategy is conceived to control numerical errors related to the time integration. Numerical evidence confirms the theoretical findings and assesses the performance of the method in the case of a stiff reaction-diffusion equation.

研究の動機と目的

• 大きな非線形連立方程式を直接解かずに、剛性PDEに対する高次時間積分スキームを開発すること。
• L安定性を有するラダウ型陰的ルンゲ＝クッタ法の安定性と、作用素分割の効率性を組み合わせること。
• 低次の分割近似に対して繰り返し遅れ補正を適用することで、高次精度を達成すること。
• 剛性半離散PDEの時間積分において、数値的安定性と誤差制御を保証すること。
• 大規模PDEシミュレーションに適した、実用的で低複雑性の高次時間積分フレームワークを提供すること。

提案手法

• s段のL安定性を有するラダウ型陰的ルンゲ＝クッタ法を用いて、時間積分のための高次四則演算公式を定義する。
• 各時間ステップ内でs個のコロケーションノードにおける低次の近似を計算するために、特別に設計された作用素分割解法を用い、安定性を確保するとともに剛性制約を回避する。
• 各コロケーションノードにおける低次の分割解を、四則演算に基づく高次四則演算解に近づけるために、繰り返し遅れ補正を適用する。
• 局所切捨て誤差を管理するための誤差制御を備えた時間ステッピング戦略を用いて、反復補正プロセスにおける誤差を制御する。
• スペクトル積分作用素 $S_{t_{i-1}}^{t_i}({oldsymbol{U}})$ が、IRKスキームから導かれる四則演算ノードを用いて積分を近似するように補正プロセスを定義する。
• 細かい伝搬子が分割に基づく数値積分器に置き換えられたSDC（スペクトル遅れ補正）の一種とみなせるように、この手法を再解釈する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 大きな非線形連立方程式を解かずに、剛性のある時間依存PDEに対して高次精度を達成できるか？
• RQ2 作用素分割と遅れ補正を組み合わせることで、安定性を保ちつつ高次収束を達成できるか？
• RQ3 半離散的剛性PDEの文脈において、反復補正プロセスの局所的精度順序と誤差挙動は何か？
• RQ4 この手法の時間ステッピング戦略において、効果的な誤差制御を実装するにはどうすればよいか？
• RQ5 標準的な低次分割法や完全に結合された陰的ルンゲ＝クッタ法と比較して、この手法は精度と効率の面でどの程度優れているか？

主な発見

• 低次の分割近似の反復的補正により、$s$段に対して最大 $2s-1$ 次の高次精度が達成される。
• 剛性反応拡散方程式に対する数値実験により、理論的精度順序が確認され、最適収束レートが示された。
• 反復補正プロセスは反復ごとに超線形収束を示し、理論的解析と整合的な誤差低減が観察された。
• 誤差制御を備えた時間ステッピング戦略により、局所切捨て誤差が適切に管理され、剛性問題全体にわたり安定性が維持された。
• 大きな非線形連立方程式を解かずに、低複雑性の分割解法と反復補正に依存することで、高い効率性を維持した。
• この手法は、細かい伝搬子が分割に基づく積分器に置き換えられた修正されたSDCスキームと数学的に同等であり、安定な高次時間積分を可能にする。