[論文レビュー] High-order schemes for the Euler equations in cylindrical/spherical coordinates

Sheng Wang, Eric Johnsen|arXiv (Cornell University)|Jan 17, 2017

Computational Fluid Dynamics and Aerodynamics参考文献 23被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、円柱座標および球座標におけるEuler方程式に対して、高次精度と保存性の両方を同時に達成する、新しい高次有限差分WENOスキームを提案する。この2つの性質を同時に満たすのは、従来困難であった。新しい手法は収束解析およびショックチューブ／Sedov爆風問題を通じて検証され、径方向に限定された幾何構造において、既存の手法を上回る性能を発揮する。

ABSTRACT

We consider implementations of high-order finite difference Weighted Essentially Non-Oscillatory (WENO) schemes for the Euler equations in cylindrical and spherical coordinate systems with radial dependence only. The main concern of this work lies in ensuring both high-order accuracy and conservation. Three different spatial discretizations are assessed: one that is shown to be high-order accurate but not conservative, one conservative but not high-order accurate, and a new approach that is both high-order accurate and conservative. For cylindrical and spherical coordinates, we present convergence results for the advection equation and the Euler equations with an acoustics problem; we then use the Sod shock tube and the Sedov point-blast problems in cylindrical coordinates to verify our analysis and implementations.

研究の動機と目的

• 円柱座標および球座標におけるEuler方程式の高次有限差分WENOスキームにおいて、長年にわたり困難であった高次精度と保存性の両立を達成すること。
• 3つの空間離散化手法を評価・比較する：1つは正確ではあるが保存的でない、もう1つは保存的ではあるが高次ではない、そして新たに提案された両条件を満たす手法。
• 提案手法の性能を、滑らかな問題（移流、音響）およびショック支配の流れ（Sodショックチューブ、Sedov点爆風）における径方向幾何構造において検証すること。
• 今後の拡張の基盤を築くこと：特に、不連続ガラーキン法や拡散効果への応用を想定し、キャビテーションバブルの動的挙動および崩壊のモデル化を目的とする。

提案手法

• 径方向依存性のみを有する円柱／球座標におけるEuler方程式を、幾何的ソース項を含むフラックス差分形で定式化する。
• セル界面における数値フラックスを再構築するために、非線形重みを用いた5次精度の有限差分WENOスキームを適用し、不連続性の高解像度な捉え込みを確保する。
• ローカルLax-Friedrichフラックス分割を用いて数値フラックスを計算し、安定性と精度を確保するため、点毎の固有値に基づく波速推定を実施する。
• 時間方向の精度を確保するため、4次精度の明示的Runge-Kutta積分スキームを採用する。
• 新しい空間離散化（手法3）を導入し、径方向メトリクス項の注意深い取り扱いにより、保存性を維持しながら高次精度を達成するフラックス項の再定式化を実現する。
• 滑らかさ指標および非線形重みを用いて、ショック近傍での本質的に非振動的挙動を維持し、0除算を回避するための小さなパラメータ ε = 10⁻⁶ を導入する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 円柱座標および球座標におけるEuler方程式に対して、高次精度でありかつ保存的である有限差分WENOスキームを構築することは可能か？
• RQ2 曲線座標系における径方向のみの流れに適用した場合、異なる空間離散化手法の精度と保存性の観点での比較はどのようになるか？
• RQ3 滑らかな問題（移動波、音響方程式）に対して、円柱座標および球座標における高次WENOスキームの収束挙動はどのように振る舞うか？
• RQ4 SodショックチューブおよびSedov点爆風といったベンチマーク問題において、提案手法がショック波および不連続性をどの程度正確に捉えられるか？
• RQ5 強い不連続性および幾何的ソース項を有する問題において、新しい手法は精度を損なうことなく保存性を維持できるか？

主な発見

• 提案手法（手法3）は、高次精度と保存性の両方を達成するが、他の2つの手法は両性質を同時に満たせない。
• 収束解析により、滑らかな問題（移動波方程式および音響問題）において、新しい手法が最適な5次精度を示すことが確認された。
• Sodショックチューブ問題の結果から、新しい手法がショック位置を正確に捉え、質量・運動量・エネルギーの保存を維持することが確認された。
• Sedov点爆風問題では、新しい手法が自己相似的爆風構造を正しく再現し、総エネルギーの誤差を最小限に抑えることができた。
• 本研究は、曲線座標系における標準的なWENO実装では、特に修正が施されない限り物理的量の保存が保証されないことが示され、本研究で提案された再定式化の必要性を強調した。
• 結果から、本手法は、インertial confinement fusion やキャビテーションバブルの動的挙動に代表される、ショック波および界面を伴う球対称または円柱対称の流れのシミュレーションに適していることが示唆された。