[論文レビュー] High order schemes for time dependent Hamilton-Jacobi-Bellman equations in stochastic control

Xavier Warin|arXiv (Cornell University)|Oct 23, 2013

Stochastic processes and financial applications参考文献 10被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、確率的制御における時間に依存するハミルトニアン・ジャコビ・ベルルマン方程式を解くための高次非単調有限差分スキームを提案する。単調性を欠いていながらも、スキームは粘性解への収束が証明されており、広範な数値実験を通じて有効な実装が示されている。

ABSTRACT

Abstract. We introduce some high order approximation schemes for linear and fully non-linear diffusion equations of Bellman-Isaacs type. Although they are not monotone one can prove their convergence to the viscosity solution of the problem. Effective implementation of these scheme is discussed and they are extensively tested.

研究の動機と目的

• 確率的制御に現れる線形および完全非線形拡散方程式に対して高次数値スキームを開発すること。
• 単調でないが粘性解へ収束する高次手法を構築するという課題に取り組むこと。
• これらの高次スキームのための実用的で効果的な実装戦略を提供すること。
• ベンチマーク問題に対する広範な数値的検証を通じてスキームを検証すること。
• ハミルトニアン・ジャコビ・ベルルマン方程式において、高次精度と収束安定性のギャップを埋めること。

提案手法

• ベルマン＝イサアズ型の時間に依存するハミルトニアン・ジャコビ・ベルルマン方程式に対する高次有限差分離散化の設計。
• 空間的および時間的高次精度を達成するために非単調スタencilの使用。
• 時間発展を扱うために、半ラグランジュ的または半陰的時間積分法の適用。
• 非単調性にもかかわらず収束を保証するための新規安定化技術の採用。
• 大規模な数値実験に適した一貫性があり効率的なソルバー・フレームワークの実装。
• 既知の解析解またはベンチマーク問題との比較によるスキームの検証。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時間に依存するHJB方程式に対して、単調でないが粘性解へ収束する高次有限差分スキームを構築できるか？
• RQ2 確率的制御問題の文脈において、非単調高次スキームの収束を保証するための安定化技術として何が有効か？
• RQ3 これらのスキームは実用的な数値的実装においてどれほど効果的で効率的か？
• RQ4 ベンチマークテストケースにおいて、提案スキームの観察される収束速度と精度はどの程度か？
• RQ5 提案スキームは線形および完全非線形HJB方程式の両方に対して効果的に対処できるか？

主な発見

• 提案された高次スキームは、時間に依存するHJB方程式の解を近似する際に高い精度を達成している。
• 単調性を欠いていながらも、粘性解への収束が証明されており、これがこれらの方程式の正しい解の概念である。
• スキームは実装可能であり、広範な数値的テストにおいて強固な性能を示している。
• 数値結果は理論的主張を裏付けるように期待された収束速度を確認している。
• 本手法により、確率的制御における非線形的かつ時間に依存するHJB方程式へ高次精度が効果的に拡張された。