[論文レビュー] High Order Semi-Lagrangian Discontinuous Galerkin Method Coupled with Runge-Kutta Exponential Integrators for Nonlinear Vlasov Dynamics

Xiaofeng Cai, Sebastiano Boscarino+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 27, 2019

Computational Fluid Dynamics and Aerodynamics参考文献 54被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、非線形Vlasov力学に適した高次半ラグランジュ型不連続ガラーキン法と、交換子フリーのルンゲ＝クッタ指数積分法（SLDG-RKEI）を組み合わせた手法を提案する。非線形輸送を指数積分法で線形化することで、空間および時間において高次精度を達成するとともに、CFL条件を回避し、大きな時間ステップを可能にするとともに、Vlasov-Poisson系およびガイド中心Vlasovモデルのシミュレーションにおいて質量保存および正値性を維持する。

ABSTRACT

In this paper, we propose a semi-Lagrangian discontinuous Galerkin method coupled with Runge-Kutta exponential integrators (SLDG-RKEI) for nonlinear Vlasov dynamics. The commutator-free Runge-Kutta (RK) exponential integrators (EI) were proposed by Celledoni, et al. (FGCS, 2003). In the nonlinear transport setting, the RKEI can be used to decompose the evolution of the nonlinear transport into a composition of a sequence of linearized dynamics. The resulting linearized transport equations can be solved by the semi-Lagrangian (SL) discontinuous Galerkin (DG) method proposed in Cai, et al. (JSC, 2017). The proposed method can achieve high order spatial accuracy via the SLDG framework, and high order temporal accuracy via the RK EI. Due to the SL nature, the proposed SLDG-RKEI method is not subject to the CFL condition, thus they have the potential in using larger time-stepping sizes than those in the Eulerian approach. Inheriting advantages from the SLDG method, the proposed SLDG-RKEI schemes are mass conservative, positivity-preserving, have no dimensional splitting error, perform well in resolving complex solution structures, and can be evolved with adaptive time-stepping sizes. We show the performance of the SLDG-RKEI algorithm by classical test problems for the nonlinear Vlasov-Poisson system, as well as the Guiding center Vlasov model. Though that it is not our focus of this paper to explore the SLDG-RKEI scheme for nonlinear hyperbolic conservation laws that develop shocks, we show some preliminary results on schemes' performance on the Burgers' equation.

研究の動機と目的

• Eulerian法のCFL安定性制限を克服する高次数値スキームを非線形Vlasov力学に開発すること。
• 交換子フリーのルンゲ＝クッタ指数積分法（RKEI）を半ラグランジュ型不連続ガラーキン（SLDG）フレームワークと組み合わせ、時間精度および安定性を向上させること。
• 高次元シミュレーションにおいて質量保存、正値性保持、次元分割誤差の回避を確保すること。
• 適応的時間ステップおよびキネティックプラズマモデルにおける複雑な解構造の高分解能解像を可能とすること。
• Vlasov-Poisson系およびガイド中心Vlasov系の古典的テスト問題における手法の性能を示すこと。Burgers方程式についての予備結果も含む。

提案手法

• 非線形輸送を交換子フリーのルンゲ＝クッタ指数積分法（RKEI）を用いて線形化されたダイナミクスの系列に分解する。
• 各線形化輸送方程式は、高次空間精度および質量保存を保証する半ラグランジュ型不連続ガラーキン（SLDG）法により解かれる。
• 特徴線の追跡は時間の逆方向に実施され、上流ノードを特定する。上流要素の境界は2次曲線を用いた四角形要素により再構築される。
• 線積分の正確な評価のため、上流要素の内部および外部セグメントを特定するクリッピングアルゴリズムが適用される。
• 上流境界に沿った線積分は、局所変換から導かれるパラメトリック座標系において3点ガウス求積法を用いて計算される。
• 本スキームは適応的時間ステップをサポートしており、次元分割誤差を回避する設計となっており、複雑な位相空間構造の高分解能追跡を可能としている。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 交換子フリーのルンゲ＝クッタ指数積分法を組み合わせた高次半ラグランジュ型不連続ガラーキン法は、非線形Vlasov力学において時間および空間の両方で高次精度を達成できるか？
• RQ2 SLDG-RKEI法はCFL条件を排除し、安定性を損なわずにもっと大きな時間ステップを可能にするか？
• RQ3 Vlasov-Poisson系およびガイド中心Vlasovモデルの長時間シミュレーションにおいて、質量および正値性がどの程度保持されるか？
• RQ4 位相空間渦やビーム・プラズマ不安定性のような複雑な位相空間構造を、本手法はどの程度高分解能で解像できるか？
• RQ5 Burgers方程式に関する予備結果を踏まえて、SLDG-RKEIフレームワークはショックを伴う双曲型保存則に拡張可能か？

主な発見

• SLDG-RKEI法は、空間的精度が不連続ガラーキンフレームワークに、時間的精度がRKEIスキームに依存することで、空間および時間の両方で高次精度を達成する。
• 半ラグランジュ型定式化のおかげでCFL条件に対して絶対安定であり、標準的なEulerian法に比べて著しく大きな時間ステップが可能となる。
• 分布関数の質量保存および正値性が保たれるため、キネティック系の長時間シミュレーションにおいて極めて重要である。
• 次元分割誤差を回避できることから、位相空間渦やビーム・プラズマ不安定性のような複雑な解構造を効果的に解像する。
• Burgers方程式に関する予備結果から、本スキームはショック形成に対しても対応可能であるが、本稿の主な焦点ではない。
• 上流再構築に2次曲線を用いた四角形要素を採用することで、特徴線追跡の幾何的精度が向上し、全体のスキームの頑健性が向上する。