[論文レビュー] High-order short-time expansions for ATM option prices under the CGMY model

José E. Figueroa‐López, Ruoting Gong+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 14, 2011

Stochastic processes and financial applications参考文献 33被引用数 14

ひとこと要約

本稿では、CGMY Lévyモデルおよびそのブラウン運動成分を含む拡張モデルにおける、満期に近いオプション価格の高次短時間漸近展開を導出する。測度変更を用いて過程を安定化させ、尾確率を含む積分表現を用いることで、2次および3次近似を得た。特に、ジャンプ拡散モデルにおける2次項は $ d_2 t^{(3-Y)/2} $ のスケーリングを示し、$ d_2 $ はジャンプ強度 $ C $ と尾の重さ $ Y $ のみに依存する。これは1次近似に比べて顕著に精度が向上することを示している。

ABSTRACT

The short-time asymptotic behavior of option prices for a variety of models with jumps has received much attention in recent years. In the present work, a novel second-order approximation for ATM option prices under the CGMY Lévy model is derived, and then extended to a model with an additional independent Brownian component. Our results shed light on the connection between both the volatility of the continuous component and the jump parameters and the behavior of ATM option prices near expiration. In case of an additional Brownian component, the second-order term, in time-t, is of the form $ d_{2} t^{(3-Y)/2}$, with the coefficient $d_{2}$ depending only on the overall jump intensity parameter C and the tail-heaviness parameter Y. This extends the known result that the leading term is $(σ/\sqrt{2π})t^{1/2}$, where $σ$ is the volatility of the continuous component. In contrast, under a pure-jump CGMY model, the dependence on the two parameters C and Y is already reflected in the leading term, which is of the form $d_{1} t^{1/Y}$. Information on the relative frequency of negative and positive jumps appears only in the second-order term, which is shown to be of the form $d_{2} t$ and whose order of decay turns out to be independent of Y. The third-order asymptotic behavior of the option prices as well as the asymptotic behavior of the corresponding Black-Scholes implied volatilities are also addressed. Our numerical results show that in most cases the second-order term significantly outperform the first-order approximation.

研究の動機と目的

• CGMY Lévyモデル下でのATMオプション価格の高次短時間漸近展開を導出すること。このモデルは、ジャンプを組み込んだブラック・ショールズモデルの一般化である。
• 独立なブラウン運動成分を追加したモデルへの分析を拡張し、拡散および無限活動性ジャンプダイナミクスを捉えること。
• 満期に近い領域におけるオプション価格近似の精度を向上させること。ここでは、1次近似手法が著しく性能を発揮しないことが知られている。
• 連続的ボラティリティとジャンプパラメータ（C, Y）が、ATMオプション価格の短時間行動に果たす役割を明確にすること。
• 高次展開から導かれるブラック・ショールズインプライド・ボラティリティの漸近的挙動を分析すること。

提案手法

• 株式測度下でのリターンの尾確率に基づくオプション価格の積分表現を用いる。
• 過程を安定なLévy過程に変換するための確率測度変更を適用し、小時間挙動の解析を簡素化する。
• この測度変更下でのCGMY過程の安定性を活用し、展開における高次項を導出する。
• モーメント生成関数およびLévy測度の漸近的解析を用いて、展開の係数（特に2次および3次項）を計算する。
• 本手法は、適切な測度変更に対して安定である他のLévy過程に対しても一般化可能であり、CGMYモデルを超えて適用可能である。
• 数値的検証を実施し、1次および2次近似の性能を比較。2次項が顕著に精度を向上させることを示している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 CGMYモデルにおけるジャンプパラメータ $ C $ と $ Y $ は、ATMオプション価格の短時間漸近的挙動にどのように影響を与えるか？
• RQ2 ブラウン運動成分を追加した場合、ATMオプション価格の短時間展開における2次項の明確な形は何か？
• RQ3 正のジャンプと負のジャンプの相対的頻度の依存性は、漸近的展開にどのように現れるか？
• RQ4 提案手法により、オプション価格およびインプライド・ボラティリティの3次漸近的挙動を導出可能か？
• RQ5 実用的状況下で、2次近似の精度は1次近似に比べてどのように向上するか？

主な発見

• 純ジャンプのCGMYモデルでは、主項が $ t^{1/Y} $ のオーダーであり、係数は $ C $ と $ Y $ の両方に依存し、これらが1次挙動に与える統合的影響を反映している。
• ジャンプ拡散拡張モデルでは、2次項が $ d_2 t^{(3-Y)/2} $ のスケーリングを示し、$ d_2 $ はジャンプの非対称性に依存せず、$ C $ と $ Y $ のみに依存する。
• 純ジャンプモデルにおける2次項は $ t $ のオーダーであり、正負のジャンプの相対的頻度に依存する係数を持つが、その減衰率は $ Y $ に依存しない。
• ATMオプション価格の3次漸近的挙動が導出され、満期に近い領域におけるより精緻な近似が可能になった。
• 対応するブラック・ショールズインプライド・ボラティリティの漸近的挙動が分析され、高次項が満期に近いインプライド・ボラティリティスケューに顕著に影響を与えることが示された。
• 数値結果により、1次近似は著しく性能が低く、2次項が短期満期において顕著な精度向上を達成することが確認された。