[論文レビュー] High-order Solution Transfer between Curved Triangular Meshes

Danny Hermes, Per-Olof Persson|arXiv (Cornell University)|Oct 16, 2018

Dynamics and Control of Mechanical Systems参考文献 24被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、曲がった三角形メッシュ間の高次解転送法を提示する。Greenの定理を用いた正確な積分により、曲がった要素同士の重なり領域における質量行列積を計算する。この手法は、$p$ 次の等パrametric要素に対して最適な $\boldsymbol{\text{O}}(h^{p+1})$ 収束を達成し、高次ラグランジュ法および適応型有限要素計算における正確かつ保存的な再マップを可能にする。

ABSTRACT

The problem of solution transfer between meshes arises frequently in computational physics, e.g. in Lagrangian methods where remeshing occurs. The interpolation process must be conservative, i.e. it must conserve physical properties, such as mass. We extend previous works -- which described the solution transfer process for straight sided unstructured meshes -- by considering high-order isoparametric meshes with curved elements. To facilitate solution transfer, we numerically integrate the product of shape functions via Green's theorem along the boundary of the intersection of two curved elements. We perform a numerical experiment and confirm the expected accuracy by transferring test fields across two families of meshes.

研究の動機と目的

• 流体力学および固体力学における高精度なシミュレーションに不可欠な、高次等パラメトリック曲がった三角形メッシュ間の保存的解転送アルゴリズムの開発。
• 曲がったメッシュ要素の重なりに起因する非凸かつ多成分の交差領域を扱う課題に、従来の再マップ手法では対応できないことの解決。
• ラグランジュ法およびALE法におけるメッシュの適応や再メッシュ化の過程で、物理量（質量、エネルギーなど）のグローバル保存性を保証すること。
• 従来、直線境界に限られていた保存的補間技術を、高次曲がった幾何形状へと拡張し、最適な収束率を達成すること。

提案手法

• 曲がったドナー要素とターゲット要素の交差領域に沿った境界積分に、形状関数積の体積積分をGreenの定理を用いて変換することで、正確な数値積分を可能にする。
• 2次以上の要素に適した幾何アルゴリズムを用いて、曲がった境界をモデル化するBézier三角形表現を採用し、交差領域を計算する。
• ドナーとターゲットメッシュ間のすべての交差要素ペairを体系的に特定・処理するため、拡張フロント法を適用し、領域の完全カバーを確保する。
• 事前に計算された多項式積の原始関数を用いて、得られた曲がった多角形交差領域上で高次数のガウス積分を実行し、積分誤差を回避する。
• 形状関数をグローバル座標系に基づいて表現することで、ドナーとターゲットの形状関数積が多項式のままであることを保証し、正確な係数計算と原始関数評価を可能にする。
• ターゲットメッシュ上の質量行列を用いたガリルキン型 $L^2$ 最小化法により離散射影問題を解き、誤差は線形方程式系の解法精度にのみ依存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非凸的かつ多成分の交差領域を持つ高次等パラメトリック曲がった三角形メッシュ間で、どのように保存的解転送を達成できるか？
• RQ2 曲がったメッシュ上での再マップにおいて、物理量の機械精度レベルの保存性を実現するための数値積分戦略は何か？
• RQ3 非線形幾何形状を有する曲がったメッシュ上でも、予想される $\text{O}(h^{p+1})$ 収束率が高次解転送で達成可能か？
• RQ4 多項式積の原始関数とGreenの定理の使用は、曲がった領域における標準的数値積分と比較して、精度と安定性をどのように向上させるか？

主な発見

• 提案手法は、$p$ 次の等パラメトリック曲がった三角形メッシュ上での解転送において $\text{O}(h^{p+1})$ 収束を達成しており、数値実験で理論的期待と一致する。
• Greenの定理による正確な積分と多項式の正確な原始関数の使用により、グローバル保存性が機械精度レベルで維持される。
• 立方体関数（$\boldsymbol{\text{ζ}}_1$）のケースでは、等パラメトリック写像が関数空間を変形するため、曲がったメッシュ上では正確な転送が達成されないことが判明し、曲がった要素の幾何的複雑性を示している。
• グローバル座標系に基づく基底の使用により、多項式積およびその原始関数の正確な計算が可能になり、積分誤差が回避され、アルゴリズムの頑健性が向上する。
• 拡張フロント法により、サブドメイン間のデータ交換が限定されるため、アルゴリズムは本質的に局所的かつ並列化可能である。
• 連続的および不連続的場の両方に対して、統合はドナーとターゲット要素の交差領域に制限されるため、局所的精度が保たれ、アルゴリズムは頑健である。