[論文レビュー] High order steady-state diffusion approximation of the Erlang-C system

Anton Braverman, J. G. Dai|arXiv (Cornell University)|Feb 9, 2016

Random Matrices and Applications参考文献 9被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、状態に依存する拡散係数を用いた、Erlang-C システムの高次安定状態拡散近似を導入し、従来の手法と比較して収束速度を著しく向上させた。提案手法は、Wasserstein 距離の誤差率として $1/R$ を達成し、既存の定数拡散係数近似の $1/\sqrt{R}$ よりも1桁速い。この結果は、Stein の手法による解析的検証および多様なシステム負荷における数値的検証で裏付けられている。

ABSTRACT

In this paper we introduce a new diffusion approximation for the steady-state customer count of the Erlang-C system. Unlike previous diffusion approximations, which use the steady-state distribution of a diffusion process with a constant diffusion coefficient, our approximation uses the steady-state distribution of a diffusion process with a extit{state-dependent} diffusion coefficient. We show, both analytically and numerically, that our new approximation is an order of magnitude better than its counterpart. To obtain the analytical results, we use Stein's to show that a variant of the Wasserstein distance between the normalized customer count distribution and our approximation vanishes at a rate of $1/R$, where $R$ is the offered load to the system. In contrast, the previous approximation only achieved a rate of $1/R$. We hope our results motivate others to consider diffusion approximations with state-dependent diffusion coefficients.

研究の動機と目的

• 既存の手法よりも、Erlang-C クイューイングシステムのより正確な安定状態拡散近似を開発すること。
• 安定状態の顧客数分布に対する拡散近似の収束速度を向上させること。
• 定数拡散係数と比較して、状態に依存する拡散係数が優れた近似精度をもたらすことを示すこと。
• Stein の手法を用いて、$1/R$ の理論的収束速度を確立し、先行研究の $1/\sqrt{R}$ の速度を上回ること。
• さまざまな負荷とシステムサイズにおいて、近似の優位性を数値的に検証すること。

提案手法

• ドリフト $b(x) = \mu\left[(x+\zeta)^{-} + \zeta\right]$ と状態に依存する拡散係数 $a(x) = \mu\left[1 + \mathbf{1}_{x > -\sqrt{R}}\left(1 - \frac{(x+\zeta)^{-} + \zeta}{\sqrt{R}}\right)\right]$ を有する新しい拡散過程を提案する。
• 新しい拡散の安定状態密度を $\nu(x) = \frac{\kappa}{a(x)}\exp\left(\int_0^x \frac{2b(y)}{a(y)}dy\right)$ と導出し、$\kappa$ は正規化を保証する。
• Wasserstein 距離が正規化された顧客数 $\tilde{X}(\infty)$ と新しい近似 $Y(\infty)$ の間で、Stein の手法を適用する。
• Lipschitz連続な一次導関数を持つ関数のクラス $W_2$ を用いて Wasserstein 距離を定義し、強い収束保証を確保する。
• Wasserstein 距離の理論的上界を確立する：$d_{W_2}(\tilde{X}(\infty), Y(\infty)) \leq C_{W_2}/R$。
• 複数のシステムパラメータにおいて、PMF および CDF 近似の Kolmogorov-Smirnov 距離と $L^\infty$ 距離を用いた数値的比較を実施する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Erlang-C システムに対して、状態に依存する拡散係数を有する拡散近似は、従来の定数拡散係数近似よりも速い収束速度を達成できるか？
• RQ2 新しい高次拡散近似の理論的収束速度は、提供負荷 $R$ に対してどのように表されるか？
• RQ3 $1/R$ の改善された収束速度は、多様なシステム負荷およびサイズにおいて、より優れた数値的性能に反映されるか？
• RQ4 新しい近似は、安定状態分布の PMF および CDF を推定する際に、従来の $1/\sqrt{R}$ 速度法と比較してどのように差をつけるか？
• RQ5 大きな定数 $C_{W_2}$ が存在するにもかかわらず、$R$ の小さな値に対しても収束速度の理論的改善は頑健か？

主な発見

• 提案された高次拡散近似は、Wasserstein 距離 $d_{W_2}$ において $1/R$ の収束速度を達成し、既存の $1/\sqrt{R}$ 近似よりも1桁速い。
• Stein の手法による理論的解析により、正規化された顧客数と新しい近似との間の Wasserstein 距離が $1/R$ の速度で消えることが確認され、$\lambda$, $n$, $\mu$ に依存しない普遍定数 $C_{W_2}$ を有する。
• 数値結果から、新しい近似は PMF および CDF の両方の推定において、常に従来の $Y_0(\infty)$ 法を上回ることが示された。$R$ が大きい場合には、最大誤差が最大2桁まで低減された。
• R=99.98 の場合、PMF 近似の $L^\infty$ 誤差は、従来法の $4.71 \times 10^{-5}$ に対して、新しい手法では $1.34 \times 10^{-6}$ に低下した。
• R が 99.98 から 99.98 に増加するに従い、新しい近似の Kolmogorov-Smirnov 距離は $1.31 \times 10^{-3}$ から $9.93 \times 10^{-4}$ に減少したが、従来法は遅い減衰を示した。
• スケーリングされていない平均誤差の近似でも改善が見られ、新しい手法では $1/\sqrt{R}$ の速度で縮小するのに対し、従来法は定数のギャップしか保証しなかった。