[論文レビュー] High order symplectic integrators for perturbed Hamiltonian systems

J. Laskar, Philippe Robutel|arXiv (Cornell University)|May 4, 2000

Numerical methods for differential equations参考文献 15被引用数 29

ひとこと要約

本稿では、$ H = A + \varepsilon B $ の形をした摂動ハミルトニアン系において、正の時間ステップのみを用いて高次のシンプレクティック積分法を構成するための構成的手法を提示する。ここで $ A $ と $ B $ はともに可積分である。本稿は、剰余項が $ O(\tau^p \varepsilon + \tau^2 \varepsilon^2) $ であるようなこのような積分法の存在を証明し、補正ステップを導入することで剰余項を $ O(\tau^p \varepsilon + \tau^4 \varepsilon^2) $ に低減できることを示している。これにより、標準的なルンゲ・クッタ法に比べて、精度と安定性が著しく向上する。

ABSTRACT

We present a class of symplectic integrators adapted for the integration of perturbed Hamiltonian systems of the form $H=A+εB$. We give a constructive proof that for all integer $p$, there exists an integrator with positive steps with a remainder of order $O(τ^pε+τ^2ε^2)$, where $τ$ is the stepsize of the integrator. The analytical expressions of the leading terms of the remainders are given at all orders. In many cases, a corrector step can be performed such that the remainder becomes $O(τ^pε+τ^4ε^2)$. The performances of these integrators are compared for the simple pendulum and the planetary 3-Body problem of Sun-Jupiter-Saturn.

研究の動機と目的

• 摂動ハミルトニアン系 $ H = A + \varepsilon B $ に対して、負の時間ステップを用いない高次シンプレクティック積分法を構築し、従来の高次法が抱える負のステップに起因する安定性の問題を克服すること。
• 任意の次数 $ p $ に対して、シンプレクティック積分法が存在することを構成的証明し、剰余項が $ O(\tau^p \varepsilon + \tau^2 \varepsilon^2) $ であることを保証すること。
• リー代数の形式と Campbell-Baker-Hausdorff の定理を用いて、任意の次数における主要な剰余項の解析的表現を導出すること。
• 積分法の出力に補正ステップを適用することで、剰余項を $ O(\tau^p \varepsilon + \tau^4 \varepsilon^2) $ に低減し、ステップ数を増加させることなく精度を向上させること。
• 単純なpendulumや太陽-木星-土星3体系といったベンチマーク問題における性能を評価し、標準的なルンゲ・クッタ法と比較して、優れた精度と安定性を示すこと。

提案手法

• 時間発展演算子を $ \exp(\tau L_H) $ としてリー形式で表現し、$ H = A + \varepsilon B $ とおく。これを $ \exp(\tau L_A) $ と $ \exp(\tau L_{\varepsilon B}) $ の合成により近似する。
• シンプレクティック積分法は、リー微分 $ L_A $ と $ L_{\varepsilon B} $ の指数関数の合成として構成され、対称型スキーム $ \mathcal{S}\mathcal{A}\mathcal{B}\mathcal{A}_n $ および $ \mathcal{S}\mathcal{B}\mathcal{A}\mathcal{B}_n $ をとる。
• 形式ハミルトニアン $ K $ が $ H $ と $ \tau^p $ 次まで一致するようにするため、Campbell-Baker-Hausdorff 展開から導かれる代数方程式を解いて合成の係数を決定する。
• 自由リー代数 $ \mathcal{L}(A,B) $ のLyndon基底を用いて、ポincare括弧の分解を一意に定義し、$ K $ の形式的級数を定義する。
• 積分法の出力に補正ステップを適用することで、剰余項を $ O(\tau^2 \varepsilon^2) $ から $ O(\tau^4 \varepsilon^2) $ に低減し、高次スキームの精度を向上させる。
• 単純なpendulumおよび3体惑星系において、数値的に手法を検証し、エネルギー誤差と計算コストを比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 摂動ハミルトニアン系 $ H = A + \varepsilon B $ に対して、正の時間ステップのみを用いた高次シンプレクティック積分法を構築できるか？
• RQ2 任意の次数 $ p $ における、このような積分法の主要な剰余項の解析的形は何か？
• RQ3 剰余項を $ O(\tau^2 \varepsilon^2) $ から $ O(\tau^4 \varepsilon^2) $ に低減する補正ステップを設計できるか？
• RQ4 これらの積分法は、惑星N体問題において一般的に用いられるルンゲ・クッタ法と比較して、精度と安定性で優れているか？
• RQ5 低次の積分法の合成は、どのような条件下で性能を向上させ、どのような場合にはコスト効率が悪くなるか？

主な発見

• 本稿では、正のステップのみを用い、任意の次数 $ p $ に対して剰余項 $ O(\tau^p \varepsilon + \tau^2 \varepsilon^2) $ を持つシンプレクティック積分法 $ \mathcal{S}\mathcal{A}\mathcal{B}\mathcal{A}_n $ および $ \mathcal{S}\mathcal{B}\mathcal{A}\mathcal{B}_n $ の族を構築した。
• $ n=3 $ または $ n=4 $ の場合、補正付き積分法 $ \mathcal{S}\mathcal{A}\mathcal{B}\mathcal{A}_{Cn} $ および $ \mathcal{S}\mathcal{B}\mathcal{A}\mathcal{B}_{Cn} $ は、$ p = n+2 $ または $ p = n+3 $ に対して $ O(\tau^4 \varepsilon^2 + \tau^p \varepsilon) $ の剰余項を達成する。
• 補正ステップにより、剰余項が $ O(\tau^2 \varepsilon^2) $ から $ O(\tau^4 \varepsilon^2) $ に低減され、大きなステップサイズでも精度が著しく向上する。
• 単純なpendulumおよび太陽-木星-土星3体問題における数値実験では、補正付き積分法が標準的なルンゲ・クッタ法や補正なしの高次法よりも、精度対コスト比に優れていることが示された。
• 積分法の合成は、一般にコスト効率が悪いが、非常に小さなステップサイズで高精度が求められる場合には有効である。
• 角運動量は、ケプラー的項 $ A $ と可換であるため、シンプレクティック積分法において正確に保存され、誤差のチェックに有用なツールを提供する。