[論文レビュー] High rate locally correctable codes via lifting

Alan Guo|arXiv (Cornell University)|Apr 3, 2013

Advanced Data Storage Technologies被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、部分線形クエリ複雑性を備えた高レート局所的に訂正可能な符号を構築するための新しいリフトフレームワークを導入する。これにより、1に限りなく近いレートが達成可能となり、定数のエラーを訂正可能となる。代数幾何符号（特にヘルミート符号）を曲線の自己同型を用いてリフトすることで、従来の次数リフト技術のレート障壁を克服し、任意の $\tau, \alpha > 0$ に対してクエリ複雑性 $N^\tau$ およびレート $1 - \alpha$ を達成する。アルファベットサイズは $N^{\epsilon/3}$ である。

ABSTRACT

We present a general framework for constructing high rate error correcting codes that are locally correctable (and hence locally decodable if linear) with a sublinear number of queries, based on lifting codes with respect to functions on the coordinates. Our approach generalizes the lifting of affine-invariant codes of Guo, Kopparty, and Sudan and its generalization automorphic lifting, suggested by Ben-Sasson et al, which lifts algebraic geometry codes with respect to a group of automorphisms of the code. Our notion of lifting is a natural alternative to the degree-lifting of Ben-Sasson et al and it carries two advantages. First, it overcomes the rate barrier inherent in degree-lifting. Second, it is extremely flexible, requiring no special properties (e.g. linearity, invariance) of the base code, and requiring very little structure on the set of functions on the coordinates of the code. As an application, we construct new explicit families of locally correctable codes by lifting algebraic geometry codes. Like the multiplicity codes of Kopparty, Saraf, Yekhanin and the affine-lifted codes of Guo, Kopparty, Sudan, our codes of block-length $N$ can achieve $N^ε$ query complexity and $1-α$ rate for any given $ε, α> 0$ while correcting a constant fraction of errors, in contrast to the Reed-Muller codes and the degree-lifted AG codes of Ben-Sasson et al which face a rate barrier of $ε^{O(1/ε)}$. However, like the degree-lifted AG codes, our codes are over an alphabet significantly smaller than that obtained by Reed-Muller codes, affine-lifted codes, and multiplicity codes.

研究の動機と目的

• 部分線形クエリ複雑性下で、$\epsilon^{O(1/\epsilon)}$ に制限される従来の局所的に訂正可能な符号のレート障壁を克服すること。
• 強い構造的仮定を必要とせず、非不変かつ非線形な基本符号に一般化可能なリフトフレームワークを構築すること。
• 任意の $\epsilon, \alpha > 0$ に対して、クエリ複雑性 $N^\epsilon$ およびレート $1 - \alpha$ を有する明示的で高レートの局所的に訂正可能な符号を構築すること。
• リフトされた代数幾何符号を用いて、小さなアルファベットサイズで近似1のレートを達成することが可能であることを示すこと。
• 曲線の自己同型によるリフトが、高レートおよび良好な距離を保ちつつ、局所的訂正可能性を維持できることを確立すること。

提案手法

• 基本符号の座標に対する群作用を用いて、アフィンリフトおよび自己同型リフトを一般化する新しいリフト作用を提案する。
• ヘルミート曲線の自己同型群を用いて、代数幾何符号（特にヘルミート符号）にリフトを適用する。
• リフトされた符号を、$H^m$ 上の関数の集合として定義し、リフトされた群作用に関して特定の不変性条件を満たすものとする。
• リフト符号の基底をなす「良い」単項式の概念を導入し、明示的構成と効率的な符号化を可能にする。
• 自己同型群の二重推移性を用いて、リフト符号が基本符号の良好な距離特性を継承することを保証する。
• 確率的および組合せ論的議論を用いて、レートとクエリ複雑性を評価し、パラメータが増加するにつれてレートが1に近づくことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 局所的に訂正可能な符号における次数リフトのレート制限を克服できるリフトフレームワークを設計できるか？
• RQ2 特別な代数的構造を必要とせず、非不変および非線形な基本符号に適用可能なそのようなリフトフレームワークは可能か？
• RQ3 代数幾何符号を用いたリフトにより、部分線形クエリ複雑性を有する高レート局所的に訂正可能な符号を構築できるか？
• RQ4 ヘルミート曲線に基づくリフト符号において、レート、クエリ複雑性、アルファベットサイズのトレードオフはどのように変化するか？
• RQ5 曲線の自己同型群によるリフトが、実用的なエラー訂正に十分な距離と局所的訂正可能性を保持できるか？

主な発見

• 提案されたリフトフレームワークは、次数リフトに内在するレート障壁を克服し、任意の $\alpha > 0$ に対してレート $1 - \alpha$ を達成可能となる。
• 任意の $\epsilon, \alpha > 0$ に対して、ブロック長 $N$、クエリ複雑性 $N^\epsilon$、かつ少なくとも $1 - \alpha$ のレートを有する符号が得られる。
• 得られる符号のアルファベットサイズは $N^{\epsilon/3}$ であり、リード・マラー符号や多重度符号に比べて顕著に小さい。
• リフトされたヘルミート符号は距離 $\Omega(N)$ を達成し、定数のエラーを訂正可能であり、リフトプロセス中に距離が保持される。
• 符号は明示的に構築可能であり、自己同型群から導かれる「良い」単項式の基底を用いて多項式時間で符号化可能である。
• リフト符号のレートは $1 - e^{-c/(b \cdot 2^{mb})}$ で下から抑えられ、$c \geq b \cdot 2^{mb} \ln(1/\alpha)$ のとき $1 - \alpha$ を超える。