[論文レビュー] High-temperature asymptotics of the 4d superconformal index

Arash Arabi Ardehali|arXiv (Cornell University)|May 19, 2016

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 55被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、非アーチカルマターを有する4次元ユニタリラグランジアンSCFTにおける4次元超対称的指数の高温漸近挙動を、楕円超幾何積分（EHIs）の双曲的極限を用いて調査する。大N極限における指数の解析を通じて、AdS$_5$/CFT$_4$におけるホログラフィック・ウェイル異常の$1/N$次歪み補正の一般解を導出し、$\beta \to 0$領域における豊かな構造を明らかにするとともに、ヴェネツィアノ極限における$A_k$ SQCD指数のアンサンブルを厳密に導出する。

ABSTRACT

The superconformal index of a typical Lagrangian 4d SCFT is given by a special function known as an elliptic hypergeometric integral (EHI). The high-temperature limit of the index corresponds to the hyperbolic limit of the EHI. The hyperbolic limit of certain special EHIs has been analyzed by Eric Rains around 2006; extending Rains's techniques, we discover a surprisingly rich structure in the high-temperature limit of a (rather large) class of EHIs that arise as the superconformal index of unitary Lagrangian 4d SCFTs with non-chiral matter content. Our result has implications for $\mathcal{N}=1$ dualities, the AdS/CFT correspondence, and supersymmetric gauge dynamics on $R^3 imes S^1$. We also investigate the high-temperature asymptotics of the large-N limit of the superconformal index of a class of holographic 4d SCFTs (described by toric quiver gauge theories with SU(N) nodes). We show that from this study a rather general solution to the problem of holographic Weyl anomaly in AdS$_5$/CFT$_4$ at the subleading order (in the 1/N expansion) emerges. Most of this dissertation is based on published works by Jim Liu, Phil Szepietowski, and the author. We include here a few previously unpublished results as well, one of which is the high-temperature asymptotics of the superconformal index of puncture-less SU(2) class-$\mathcal{S}$ theories.

研究の動機と目的

• 非チャーラルなマターを有する4次元ユニタリラグランジアンSCFTにおける超対称的指数の高温挙動を理解すること。
• レインズの双曲的極限技術を、こうしたSCFTに由来する広範なクラスの楕円超幾何積分へと拡張すること。
• 大N極限における超対称的指数から、AdS$_5$/CFT$_4$におけるホログラフィック・ウェイル異常の$1/N$次歪み補正を導出すること。
• パunctureなしの$\mathcal{N}=1$クラス-$\mathcal{S}$理論の指数の漸近形を厳密に確立すること。
• ヴェネツィアノ極限における$A_k$ SQCD指数のアンサンブルを、$\beta$に依存しない項$I^*_\tilde{f}$の計算により解消すること。

提案手法

• 超対称的指数の高温極限（$\beta \to 0$）を、楕円超幾何積分（EHIs）の双曲的極限を用いて分析する。
• 先行する発散項を差し引いた後、$\sum_{n=1}^\infty f(n\beta)$ 形式の和の漸近解析にザジエールの手法を適用する。
• 単一トレース指数$I_{\text{s.t.}}(\beta)$を入力として用い、$\ln \mathcal{I}^{N\to\infty}(\beta) \sim \frac{\pi^2}{6\beta} I_{-1} + I_0 \ln(1/\beta) + I^*_\tilde{f} + \sum_{m=1}^\infty I_m \zeta(-m+1) \beta^m$ を用いて、全指数の漸近挙動を計算する。
• 単一トレース指数$I_{\text{s.t.}}(\beta)$の$\beta$のべき級数としての漸近展開を導出し、EHIsの構造から係数$I_{-1}, I_0, I_1, \dots$ を特定する。
• $A_k$ SQCDに対してこの手法を適用し、ヴェネツィアノ極限で$\beta$の係数$\frac{1}{(b+b^{-1})/2}$および$\frac{b+b^{-1}}{2}$を用いて、$I_{-1}, I_0, I_1$ を明示的に$b$, $k$, $N_c$, $N_f$ の関数として計算する。
• 先行研究[23]におけるアンサンブルを、指数漸近展開における未決定であった定数$I^*_\tilde{f}(b)$を厳密に計算することで、正当化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非チャーラルなマターを有するユニタリラグランジアン4次元SCFTにおける超対称的指数の高温漸近挙動は何か？
• RQ2 楕円超幾何積分（EHIs）の双曲的極限は、高温領域における指数の構造をどのように明らかにするか？
• RQ3 大N極限における超対称的指数から導かれるAdS$_5$/CFT$_4$におけるホログラフィック・ウェイル異常の$1/N$次歪み補正は何か？
• RQ4 ヴェネツィアノ極限における$A_k$ SQCD指数の漸近展開における$\beta$に依存しない項$I^*_\tilde{f}(b)$の正確な形は何か？
• RQ5 ザジエールの手法は、大N指数の対数の全漸近展開を計算するためにどのように適合可能か？

主な発見

• 非チャーラルなマターを有するユニタリラグランジアン4次元SCFTにおける超対称的指数の高温漸近挙動は、EHIsの双曲的極限における豊かな構造によって支配され、レインズの結果を拡張する。
• 超対称的指数の大N極限により、AdS$_5$/CFT$_4$におけるホログラフィック・ウェイル異常の$1/N$次歪み補正の一般解が得られ、$\ln \mathcal{I}^{N\to\infty}(\beta) \sim \frac{\pi^2}{6\beta} I_{-1} + I_0 \ln(1/\beta) + I^*_\tilde{f} + \sum_{m=1}^\infty I_m \zeta(-m+1) \beta^m$ として表現される。
• $A_k$ SQCDがヴェネツィアノ極限にある場合、[23]におけるアンサンブルが厳密に導出され、かつ未決定であった定数$I^*_\tilde{f}(b)$が明示的に計算された。
• 漸近展開における係数$I_{-1}$は、$\frac{2k^3 + 3k^2 - 1}{4k(1+k)} \cdot \frac{1}{(b+b^{-1})/2} + \frac{16kN_c^2 - 8k^2 + 8k}{4k(1+k)} \cdot \frac{b+b^{-1}}{2}$ に等しく、$\beta^{-1}$ 発散の主要項を捉えている。
• 係数$I_0 = -1/2$ は、こうした理論の高温極限において普遍的であり、$I_1$ は $-\left( \frac{4}{27}(b+b^{-1})^3(3c-2a) + \frac{4}{3}(b+b^{-1})(a-c) \right)$ に等しく、指数における$\beta$線形項に寄与する。
• 本手法により、[23]のアンサンブルで未決定であった$\beta$に依存しない項$I^*_\tilde{f}(b)$が厳密に計算され、$A_k$ SQCD指数の漸近展開が完全に完成した。