[論文レビュー] Higher analytic torsion of sphere bundles and continuous cohomology of $Diff(S^{2n-1})$

Ulrich Bunke|ArXiv.org|Feb 20, 1998

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 5被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、Bismut-Lottの torsion 形式を用いて、滑らかな球面束に対して高次の解析的 torsion 級数を構成し、それらを用いて奇数次元球面の微分同相群 $ {Diff}(S^{2n-1})$ の非自明な連続群コホモロジー級数を定義する。主な結果は、複素ベクトル束から得られる球面束のケースにおけるこれらの級数の明示的計算であり、連続コホモロジーにおける新たな不変量を明らかにする。

ABSTRACT

Using the higher analytic torsion form of Bismut and Lott we construct a characteristic class for smooth sphere bundles. We calculate this class in the case where the sphere bundle comes from a complex vector bundle. Related to these characteristic classes we define nontrivial continuous group cohomology classes of the diffeomorphism group of odd dimensional spheres.

研究の動機と目的

• 滑らかな球面束に対して高次の解析的 torsion 形式を用いて特徴類を定義すること。
• 幾何的不変量を用いて微分同相群 $\r{Diff}(S^{2n-1})$ の連続コホモロジーを探索すること。
• 球面束が複素ベクトル束から生じる場合に、これらの特徴類を明示的に計算すること。
• 得られるコホモロジー級数が連続群コホモロジーにおいて非自明であることを確立すること。
• 解析的 torsion 不変量と奇数次元球面の微分同相群の位相的不変量との関係を結ぶこと。

提案手法

• BismutとLottが導入した高次の解析的 torsion 形式を用いて、滑らかな球面束の特徴類を構成する。
• 複素ベクトル束の球面束として得られる球面束にこの torsion 形式を適用する。
• de Rham コホモロジーに値をとる特徴類を構成し、$ {Diff}(S^{2n-1})$ の連続群コホモロジーに引き上げる。
• 纤维束の文脈において曲率と特徴類を関係付けるために、Chern-Weil 理論の枠組みを用いる。
• 全空間上のフレーム bundle と接続データの構造を用いて torsion 形式を計算する。
• 得られた級数を微分同相群の不変量として解釈するために、連続群コホモロジーの理論に依拠する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高次の解析的 torsion は、滑らかな球面束の特徴類を定義するために用いられるか？
• RQ2 これらの級数は、$ {Diff}(S^{2n-1})$ の連続コホモロジーにおいて非自明な不変量をもたらすか？
• RQ3 球面束が複素ベクトル束から生じる場合、高次の解析的 torsion 級数の明示的形は何か？
• RQ4 これらの級数は、微分幾何学における既知の特徴類とどのように関係するか？
• RQ5 得られるコホモロジー級数は、自然な幾何的構成において安定的か、検出可能か？

主な発見

• 高次の解析的 torsion 形式は、滑らかな球面束に対して de Rham コホモロジーに値をとるwell-definedな特徴類をもたらす。
• この特徴類は、$ {Diff}(S^{2n-1})$ の非自明な連続群コホモロジー級数に引き上げられる。
• 複素ベクトル束から導かれる球面束のケースでは、torsion 級数は明示的に計算可能であり、非自明（非零）である。
• この構成により、$ {Diff}(S^{2n-1})$ の次数 $2n-1$ における非自明な連続コホモロジー級数の幾何的実現が得られる。
• 結果として、解析的 torsion と奇数次元球面の微分同相群の連続コホモロジーとの間の関係が確立される。
• この方法により、高次の解析的 torsion が古典的特徴類を超える位相的不変量を検出できることを示している。