[論文レビュー] Higher categorical symmetries and gauging in two-dimensional spin systems

Clement Delcamp, Apoorv Tiwari|arXiv (Cornell University)|Jan 3, 2023

Quantum many-body systems参考文献 113被引用数 12

ひとこと要約

本論文は、Morita 双対を介して融合2-カテゴリの高次（非可逆）対称性を2Dスピン系で研究する枠組みを提示し、部分対称性のねじれガウジングと明示的な格子演算子を可能にし、具体的な有限群Isingモデルの例を提供する。

ABSTRACT

We present a framework to systematically investigate higher categorical symmetries in two-dimensional spin systems. Though exotic, such generalised symmetries have been shown to naturally arise as dual symmetries upon gauging invertible symmetries. Our framework relies on an approach to dualities whereby dual quantum lattice models only differ in a choice of module 2-category over some input fusion 2-category. Given an arbitrary two-dimensional spin system with an ordinary symmetry, we explain how to perform the (twisted) gauging of any of its sub-symmetries. We then demonstrate that the resulting model has a symmetry structure encoded into the Morita dual of the input fusion 2-category with respect to the corresponding module 2-category. We exemplify this approach by specialising to certain finite group generalisations of the transverse-field Ising model, for which we explicitly define lattice symmetry operators organised into fusion 2-categories of higher representations of higher groups.

研究の動機と目的

• 2Dスピン系における高次カテゴリ対称性とそれらの格子実現を動機づけて定義する。
• 可算な可逆部分対称性を規範的にガウジングし、得られる双対対称性構造を特定する。
• 局所対称性演算子のねじれガウジングと転換を実現する明示的な格子演算子を開発する。
• この枠組みを、トランスバーサル場Isingモデルの有限群一般化で例示する。
• 双対性をMorita理論と高次群の表現論へ結びつける。

提案手法

• 入力された融合2-カテゴリ 2VecG（G-graded 2-vector spaces）を用いて、(2+1)dスピン系の双対性クラスをモデル化する。
• 物理自由度を固定し双対モデルを得るために、2VecG上の不可分なモジュール2-カテゴリMを選択する。
• 双対性演算子を、モジュール2-カテゴリ間の対応（モジュール2-函手）として構築し、対称性演算子をモジュール2-自己函手として構成する。
• Mに関しての2VecGのMorita双対を、ゲージされたモデルの結果対称性融合2-カテゴリ（(2VecG)⋆M）として記述する。
• 局所スピン演算子の立方体とコホモロジー情報の観点で、ねじれガウジングとトポロジカル表面/線演算子の明示的な格子実現を提供する。
• この枠組みを、ギャップのある境界および高次元TQFTの状態和構成（Turaev–Viro–Barrett–Westbury 型）に関連づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 (2+1)dスピン系の可逆な部分対称性を体系的にガウジングし、得られる双対対称性構造を特定するにはどうすればよいか。
• RQ2 ゲージされたモデルの対称性を符号化するMorita双対融合2-カテゴリは何か。
• RQ3 高次群の高次表現および2-表現論が、スピン系の格子対称性演算子としてどのように現れるか。
• RQ4 局所対称性演算子のねじれガウジングと転換を実現する明示的な格子演算子を構築できるか。
• RQ5 有限群一般化のトランスバーサル場Isingモデル（例：Klein 四元群、S3）におけるこれらの一般化ガウジングの具体的効果は何か。

主な発見

• (2+1)d Ising様モデルで0-形式Z2対称性をガウジングすると、Z2の2表現の融合2カテゴリに編成された非可逆的な表面演算子が得られる。
• Morita双対フレームワーク（(2VecG)⋆M）は、選択されたモジュール2-カテゴリMに対して、ゲージ化されたモデルの双対対称性構造を捉える。
• このアプローチは、特定の双対性クラスに依存せず、Morita理論を用いて部分対称性をガウジングし双対対称性を同定する体系的な方法を提供する。
• 明示的な格子構成は、有限群一般化のトランスバーサル場Isingモデルにおけるねじれガウジングと局所対称性演算子の転換を示す。
• Klein群とS3の例は、格子上のトポロジカルな表面と線およびそれらの融合/相互作用規則を示す。
• この枠組みは、モジュール集合によってエンコードされたギャップのある境界条件を介して、より広い3D TQFT状態和の視点とつながる。
• 非可逆的な表面演算子を伴う二重化TFIsは、(2+1)d 系における高次表現論の実践的な格子実現を示す。