[論文レビュー] Higher categorified algebras versus bounded homotopy algebras

David Khudaverdyan, Ashis Kumar Mandal+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 30, 2010

Advanced Topics in Algebra参考文献 10被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、高次のカテゴリカル構造を用いて定義される、カテゴリフィケーションされたリー代数であるリー3代数と、特定の次数で双線形および三線形作用素が消える3項のリー∞-代数との間の1対1対応を確立する。基礎的な問題を解決するものであり、線形nカテゴリにおけるモノイド構造を保存しないEilenberg-Zilber写像が、正規化されたホモロジー複体間の直接的なチェーン写像の構成を妨げることを示している。

ABSTRACT

We define Lie 3-algebras and prove that these are in 1-to-1 correspondence with the 3-term Lie infinity algebras whose bilinear and trilinear maps vanish in degree (1,1) and in total degree 1, respectively. Further, we give an answer to a question of [Roy07] pertaining to the use of the nerve and normalization functors in the study of the relationship between categorified algebras and truncated sh algebras.

研究の動機と目的

• 高次の線形カテゴリを用いたカテゴリカルな枠組みでリー3代数を定義すること。
• 双線形および三線形写像が特定の条件で消える3項のリー∞-代数とリー3代数との1対1対応を証明すること。
• Roytenberg（2007）が提起した、カテゴリフィケーションされた代数と切断されたsh代数を結ぶためにホモロジー関手としてのホモロジー複体と正規化関手を用いる際の問題を解決すること。
• 線形nカテゴリのモノイド構造が、Eilenberg-Zilber写像を用いたチェーン写像の構成における障害であることを同定すること。

提案手法

• ベクトル空間上の内部に厳密な3カテゴリとしてのリー3代数を定義し、追加の代数的構造を備える。
• Dold-Kan対応を用いて、単体的ベクトル空間と非負次数のチェーン複体との関係を確立する。
• 線形nカテゴリをチェーン複体に翻訳する正規化ホモロジー関手Nを構成する。
• Eilenberg-Zilber写像EZを用いて、正規化ホモロジー複体のテンソル積と積カテゴリのホモロジー複体との関係を定式化する。
• 線形カテゴリ上の積⊠が関手でないため、Eilenberg-Zilber写像が退化作用素および境界作用素と可換でないことを分析する。
• Loday-Pirashviliテンソル積でさえも、積カテゴリの正規化が正規化複体のテンソル積と一致しないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リー3代数の明確なカテゴリカルな定義とは何か？また、リー∞-代数とはどのように関係しているか？
• RQ2 正規化関手が線形nカテゴリのモノイド構造を保存するのはどのような条件下か？
• RQ3 なぜEilenberg-Zilber写像は、カテゴリフィケーションされた代数の正規化ホモロジー複体間のチェーン写像を誘導しないのか？
• RQ4 標準的なホモロジー関手を用いて、カテゴリフィケーションされた代数と有界なsh代数との間の対応を確立できるか？
• RQ5 この対応の障害は、線形nカテゴリのモノイド構造そのものに内在しているのか？

主な発見

• リー3代数は、次数(1,1)で双線形作用素が消え、総次数1で三線形作用素が消える3項のリー∞-代数と1対1に対応する。
• 正規化ホモロジー関手Nは線形nカテゴリの構造を保存し、非負次数のチェーン複体に写像する。
• Eilenberg-Zilber写像EZは弱モノイド的であり、正規化ホモロジー複体のテンソル積と積カテゴリの正規化ホモロジー複体との間のチェーン写像を提供する。
• 正規化ホモロジー複体の積を定義する写像ℓ_nが境界作用素および退化作用素と可換でないため、根本的な障害が生じる。
• その失敗の原因は、線形カテゴリ上の積⊠が関手でないことに起因し、この非関手性がEZを用いたチェーン写像の構成を不可能にする。
• Loday-Pirashviliテンソル積でさえも、等式N(L ⊠ L') = N(L) ⊗_LP N(L')が成り立たないため、障害が構造的であることが確認される。