[論文レビュー] Higher Chow groups with modulus and relative Milnor K-theory

Kay Rülling, Shuji Saito|arXiv (Cornell University)|Apr 10, 2015

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 4被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、滑らかな代数的多様体 $X$ とその単純な交差を持つ除数 $D$ の組 $(X,D)$ に対して、Nisnevich 動的コホロロジー複体から相対ミルナー $K$-層への明示的なサイクル写像を構成し、$i \geq \dim X$ の次数において、動的コホモロジーと相対ミルナー $K$-層のコホモロジーの間に同型が成立することを証明する。この結果は、$D=0$ の古典的同型を一般化し、$({\mathbb{A}}^1_k, (m+1)\{0\})$ の動的コホモロジーに対してザリスキ下降性を確立し、加法的チャウ群およびビッグ de Rham-Witt 複体と関連付ける。

ABSTRACT

Let X be a smooth variety over a field k and D an effective divisor whose support has simple normal crossings. We construct an explicit cycle map from the r-th Nisnevich motivic complex of the pair (X,D) to a shift of the r-th relative Milnor K-sheaf of (X,D). We show that this map induces an isomorphism for all i greater or equal the dimension of X between the motivic Nisnevich cohomology of (X,D) in bidegree (i+r,r) and the i-th Nisnevich cohomology of the r-th relative Minor K-sheaf of (X,D). This generalizes the well-known isomorphism in the case D=0. We use this to prove a certain Zariski descent property for the motivic cohomology of the pair (\A^1_k, (m+1){0}).

研究の動機と目的

• 滑らかな多様体 $X$ と単純な交差を持つ除数 $D$ を持つ対 $(X,D)$ に対して、古典的な動的コホモロジーとミルナー $K$-理論の同型を一般化すること。
• 絶対ミルナー $K$-層の部分層として、相対ミルナー $K$-層 ${\mathcal{K}}^{M}_{r,X|D}$ を定義し、その性質を調べること。
• Nisnevich 動的コホモロジー複体 $\mathbb{Z}(r)_{X|D,\mathrm{Nis}}$ からシフトされた相対ミルナー $K$-層へのサイクル写像を構成し、高次元でその同型を証明すること。
• ザリスキ下降性を $({\mathbb{A}}^1_k, (m+1)\{0\})$ の動的コホモロジーに対して確立し、加法的チャウ群およびビッグ de Rham-Witt 複体と関連付けること。

提案手法

• 除数 $D$ によって誘導されるフィルトレーションを用いて、${\mathcal{K}}^{M}_{r,X}$ の部分層として相対ミルナー $K$-層 ${\mathcal{K}}^{M}_{r,X|D}$ を構成し、モジュラスを持つスキーム上のミルナー $K$-層の構造を用いる。
• サイクルにモジュラス条件を満たす立方体サイクル複体のシフトとして、Nisnevich 動的コホモロジー複体 $\mathbb{Z}(r)_{X|D,\mathrm{Nis}}$ を定義する。
• Nisnevich シェーブの導来圏内に、明示的なサイクル写像 $\phi^{r}_{X|D,\mathrm{Nis}}: \tau_{\geq r}\mathbb{Z}(r)_{X|D,\mathrm{Nis}} \to {\mathcal{K}}^{M}_{r,X|D,\mathrm{Nis}}[-r]$ を構成する。
• サイクル写像が、すべての $i \geq \dim X$ に対して $H^{i+r}_{{\mathcal{M}},\mathrm{Nis}}(X|D,\mathbb{Z}(r)) \cong H^i(X_{\mathrm{Nis}}, {\mathcal{K}}^{M}_{r,X|D,\mathrm{Nis}})$ を誘導することを証明し、$D=0$ の古典的ケースを一般化する。
• ホモトピー不変性と次元の議論を用いて、特に $({\mathbb{A}}^1_k, (m+1)\{0\})$ の場合に、ある種の動的コホモロジー群の消失を証明し、ザリスキ下降性を確立する。
• 同型と消失結果を用いて、$({\mathbb{A}}^1_k, (m+1)\{0\})$ の動的コホモロジーを加法的チャウ群およびビッグ de Rham-Witt 複体と関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単純な交差を持つ除数 $D$ を持つ対 $(X,D)$ の動的コホモロジーから、相対ミルナー $K$-層への自然なサイクル写像が存在するか。これは $D=0$ の古典的同型を一般化する。
• RQ2 $({\mathbb{A}}^1_k, (m+1)\{0\})$ の動的コホモロジーは、相対ミルナー $K$-層および加法的チャウ群の言いかつで記述可能か。
• RQ3 除数 $D$ がモジュラスを持つ場合、$({\mathbb{A}}^n_k, D)$ の動的コホモロジーはザリスキ下降性を満たすか。
• RQ4 加法的 $K$-理論の文脈において、相対ミルナー $K$-層 ${\mathcal{K}}^{M}_{r,X|D}$ とビッグ de Rham-Witt 複体の関係は何か。
• RQ5 高次元における $({\mathbb{A}}^n_k, D)$ の動的コホモロジーに対して、どのような消失定理が成り立ち、それらがザリスキ下降性をどのように示唆するか。

主な発見

• 単純な交差を持つ除数 $D_{\mathrm{red}}$ を持つとき、導来圏内の Nisnevich シェーブの圏において、サイクル写像 $\phi^{r}_{X|D,\mathrm{Nis}}: \tau_{\geq r}\mathbb{Z}(r)_{X|D,\mathrm{Nis}} \to {\mathcal{K}}^{M}_{r,X|D,\mathrm{Nis}}[-r]$ が構成され、それが同型であることが証明された。
• $i \geq \dim X$ に対して、同型 $H^{i+r}_{{\mathcal{M}},\mathrm{Nis}}(X|D,\mathbb{Z}(r)) \cong H^i(X_{\mathrm{Nis}}, {\mathcal{K}}^{M}_{r,X|D,\mathrm{Nis}})$ が成り立つ。これは $D=0$ の古典的同型を一般化する。
• $({\mathbb{A}}^1_k, (m+1)\{0\})$ の動的コホモロジーは、ザリスキ下降性を満たすことが示され、$n \geq 2$ および $\mathfrak{m} \in ({\mathbb{N}}_{\geq 1})^n$ のとき、コホモロジー群 $H^{r+d+n}_{{\mathcal{M}},\mathrm{Nis}}(X\times{\mathbb{A}}^n|p^*D+E_{\mathfrak{m}}, \mathbb{Z}(r))$ が消失する。
• $n \geq 2$ のとき、群 $\mathrm{CH}^{r}(X\times{\mathbb{A}}^n|p^*D+E_{\mathfrak{m}}, r-(d+n))$ が消失し、自然な写像が動的コホモロジーへの同型であることを示唆する。
• 相対ミルナー $K$-層 ${\mathcal{K}}^{M}_{r,X|D}$ が、層 $\omega^{r-1}_{\mathfrak{n},\nu}/B^{r-1}_{s+1,\mathfrak{n},\nu}$ の逐次拡張として実現されることを示し、コホモロジーの消失を示すためのスペクトル系列の議論が可能になる。
• $H^{d+1}(X_{\nu}\times{\mathbb{A}}^1, \omega^{r-1}_{\mathfrak{n},\nu})$ の消失は、Leray のスペクトル系列と次元の理由によって確立され、下降性のための主要な消失結果が証明された。