[論文レビュー] Higher codimension relative isoperimetric inequality outside a convex set

Brian Krummel|arXiv (Cornell University)|Oct 13, 2017

Point processes and geometric inequalities参考文献 13被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、$(m+1)$次元の面積最小化整数カレントが凸集合 $Σ \subset \mathbb{R}^{n+1}$ の外部に存在する場合の、高codimensionにおける鋭い相対的等周不等式を確立する。この不等式は、半空間内の平坦な半円板が唯一、等周比の下界を達成することを示している。結果は、先行するcodimension 1の結果を拡張し、Choeによる予想を裏付けるものであり、幾何測度論、単調性公式、整数カレントのコンパクトネス定理を用いて得られている。

ABSTRACT

We consider an isoperimetric inequality for $(m+1)$-dimensional area minimizing submanifolds of arbitrary codimension which lie outside a convex set $\mathcal{K} \subset \mathbb{R}^{n+1}$ and are bounded by a submanifold of $\mathbb{R}^{n+1} \setminus \mathcal{K}$ and the convex set $\mathcal{K}$. We show that the least value of the isoperimetric ratio is attained for an $(m+1)$-dimensional flat half-disk of $\mathbb{R}^{n+1}_+$. This extends prior work of Choe, Ghomi, and Ritoré in codimension one and proves a conjecture of Choe in the case of relative area minimizers.

研究の動機と目的

• 閉凸集合 $\mathcal{K}$ が内部を有するとき、$\mathbb{R}^{n+1}\setminus\mathcal{K}$ 内の $(m+1)$ 次元の面積最小化整数カレントに対して鋭い相対的等周不等式を確立すること。
• Choe, Ghomi, Ritoré による先行するcodimension 1 の結果を任意のcodimension に拡張すること。
• Choe が提示した、高codimensionにおける相対的面積最小化者に関する予想を確認すること。
• 特異点や境界の非可微分性を含め、凸集合 $\mathcal{K}$ の境界付近における面積最小化カレントの構造と正則性を分析すること。
• コンパクトネスおよびブロー・アップ技法を用いて、最適な等周比が半空間内の多重度1の平坦な半円板にのみ達成されることを証明すること。

提案手法

• 滑らかな部分多様体の一般化として、特異点や重複度を許容する $\mathbb{R}^{n+1}\setminus\mathcal{K}$ 内の整数カレントの枠組みを用いる。
• Federer-Fleming のコンパクトネス定理を適用し、境界が $\partial\mathcal{K}$ 上にある $m$-カレント $T$ を持つ面積最小化カレント $R$ が $\mathbb{R}^{n+1}\setminus\mathcal{K}$ 内に存在することを確立する。
• 半径 $\rho^*$ を用いたスライシング論法により、問題を有界な凸集合 $\widetilde{\mathcal{K}} = \mathcal{K} \cap \overline{B_{2\rho^*}(0)}$ に局所化し、有界ケースの適用を可能にする。
• 単調性公式と接空間解析を用いて、最小化列の漸近的挙動を調べ、無限遠での質量集中を除外する。
• 反射法と $\mathbb{R}^{n+1}$ 内の標準的等周不等式との比較により、半空間の場合の鋭い定数 $2^{-1/m}$ を導出する。
• 球面の面積平均曲率特徴付けと安定性議論を用いて、等周比において等号が成立するのは、$\mathbb{R}^{n+1}_+$ 内の多重度1の平坦な半円板 $R$ にのみなることを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $(m+1)$ 次元の面積最小化整数カレント $R$ が凸集合 $\mathcal{K}$ の外部にあるとき、相対的等周比 $\frac{\mathbf{M}(T)^{\frac{m+1}{m}}}{\mathbf{M}(R)}$ の鋭い下界は何か？ ここで $T$ は $m$ 次元の整数カレントで $\partial R = T$ かつ $\partial R \subset \partial\mathcal{K}$ を満たす。
• RQ2 Choe が予想したように、任意のcodimension において、この比の最小化子は半空間内の平坦な半円板に限られるのか？
• RQ3 特異点や非可微分境界の存在が、相対的面積最小化者に対する存在性と正則性に与える影響は何か？
• RQ4 整数カレント理論を用いて、codimension 1 からの相対的等周不等式の高codimensionへの拡張は可能か？
• RQ5 $\mathcal{K}$ の凸性が、最小化カレントの存在と鋭い不等式の妥当性を保証するために果たす役割は何か？

主な発見

• 鋭い相対的等周不等式が成り立つ：任意の $m$ 次元整数カレント $T$ および $\mathbb{R}^{n+1}\setminus\mathcal{K}$ 内の $(m+1)$ 次元面積最小化カレント $R$ に対して、$\partial R = T$ かつ $\partial R \subset \partial\mathcal{K}$ を満たすとき、$\frac{\mathbf{M}(T)^{\frac{m+1}{m}}}{\mathbf{M}(R)} \geq 2^{-1/m} \frac{\mathcal{H}^m(\partial \mathbb{B}^{m+1})^{\frac{m+1}{m}}}{\mathcal{H}^{m+1}(\mathbb{B}^{m+1})}$ が成り立つ。
• 等号が成立するのは、$R$ が $\mathbb{R}^{n+1}_+$ 内の多重度1の平坦な半円板（すなわち、半空間内の半球）に限られる。
• 等周比の下界は、唯一そのような平坦な半円板によって達成され、不等式の鋭さが証明される。
• 証明は、大きな球 $B_{\rho^*}(0)$ を用いた局所化論法に依拠し、非有界な場合を有界な凸集合 $\widetilde{\mathcal{K}}$ に還元する。ここでは不等式が既知に成り立つ。
• ブロー・アップ論法とコンパクトネスを用いて、無限遠での質量集中を除外し、ほぼ最小化列の極限が不等式を満たすことを保証する。
• 結果は、相対的面積最小化者において Choe の予想を確認し、整数カレント理論を用いて、codimension 1 の先行研究を任意のcodimension に拡張している。