[論文レビュー] Higher codimensional foliations and Kupka singularities

Maurício Corrêa, Omegar Calvo-Andrade+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 29, 2014

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 11被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、$\mathbb{P}^n$ 上の次元 $k > 1$ で余次元 $\geq 1$ の正則foliationを、コンpactかつ連結なKupka特異点集合成分をもつものとして研究する。もし横断的型が線形で正の固有値をもつならば、そのfoliationは有理ファイブレーション $\Phi: \mathbb{P}^n \dasharrow \mathbb{P}^{n-k}$ でなければならない。この結果は、Kupka集合が完全交差である場合や、放射的横断的型をもつ場合にも拡張可能であり、非可積分な余次元1分布の標準形を導出するために応用される。

ABSTRACT

We consider holomorphic foliations of dimension $k>1$ and codimension $\geq 1$ in the projective space $\mathbb{P}^n$, with a compact connected component of the Kupka set. We prove that, if the transversal type is linear with positive integers eigenvalues, then the foliation consist on the fibers of a rational fibration. As a corollary, if $\mathcal{F}$ is a foliation such that $dim(\mathcal{F})\geq cod(\mathcal{F})+2$ and has transversal type diagonal with different eigenvalues, then the Kupka component $K$ is a complete intersection and we get the same conclusion. The same conclusion holds if the Kupka set is a complete intersection and has radial transversal type. Finally, as an application, we find a normal form for non integrable codimension one distributions on $\mathbb{P}^{n}$.

研究の動機と目的

• 次元 $k > 1$ で余次元 $\geq 1$ の $\mathbb{P}^n$ 上の正則foliationで、コンパクトかつ連結なKupka特異点集合成分をもつものの特徴づけ。
• このようなfoliationが有理ファイブレーションとして現れる条件の特定。
• Kupka集合が完全交差であるか、放射的横断的型をもつ場合への特徴づけの拡張。
• $\mathbb{P}^n$ 上の非可積分な余次元1分布の標準形を導出するために結果を応用。

提案手法

• 局所標準形と横断的型分類を用いて、正則foliationのKupka集合を分析。
• Kupka条件を適用し、横断的構造が線形である閉形式によって局所的に定義されることを示す。
• Baum–Bott理論とコhomological技法を用いて、Kupka集合の幾何とグローバルファイブレーションとの関係を関係づける。
• Poincaréの補題とDarboux型定理を用いて、foliationが標準形をとる局所座標系を構成。
• $d\omega$ のグローバル分解可能性と、径方向ベクトル場の縮約に関する結果を適用し、同次多項式構造を導出。
• $\text{cod}(\text{Sing}((d\omega)^r)) \geq 3$ であることから、$d\omega$ が微分の外積の和として分解可能であることを結論づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 次元 $k > 1$ で余次元 $\geq 1$ の $\mathbb{P}^n$ 上の正則foliationで、コンパクトかつ連結なKupka成分と正の固有値をもつ線形横断的型をもつものについて、それが有理ファイブレーションとして現れる条件は何か？
• RQ2 foliationのKupka集合が完全交差であるのはいつか？ そして、これによりどのようなグローバル構造が導かれるか？
• RQ3 Kupka集合の放射的横断的型が、foliationが有理ファイブレーションであることを強制する条件は何か？
• RQ4 $\mathbb{P}^n$ 上の非可積分な余次元1分布について、Kupka成分をもつ場合に達成可能な標準形は何か？
• RQ5 $d\omega$ のグローバル分解可能性は、定義する1次形式の同次構造とどのように関係するか？

主な発見

• 次元 $k > 1$ で余次元 $\geq 1$ の $\mathbb{P}^n$ 上の正則foliationで、線形横断的型かつ正の固有値をもつコンパクトかつ連結なKupka成分をもつならば、それは有理ファイブレーション $\Phi: \mathbb{P}^n \dasharrow \mathbb{P}^{n-k}$ である。
• $\dim(\mathcal{F}) \geq \text{cod}(\mathcal{F}) + 2$ かつ横断的型が異なる固有値をもつ対角型であるとき、Kupka成分 $K$ は完全交差であり、foliationは有理ファイブレーションである。
• Kupka集合が完全交差であり、放射的横断的型をもつならば、再びfoliationは有理ファイブレーションである。
• 非可積分な余次元1分布（クラス $r$）で、$\text{cod}(\text{Sing}((d\omega)^r)) \geq 3$ をみたす $\mathbb{P}^n$ 上の1次形式 $\omega$ は、$\mathbb{C}^{2r}$ へのサブマニフェルドによる局所的プルバックとして標準形をとる。
• 1次形式 $\omega$ は、同じ次数の同次多項式 $f_i$ を用いて $\sum_{i=0}^{r-1} (f_i df_{i+r} - f_{i+r} df_i)$ の形に globally に表される。
• $d\omega$ のグローバル構造は $\sum_{i=0}^{r-1} df_i \wedge df_{i+r}$ であり、同次的かつ分解可能である構造を示唆する。