[論文レビュー] Higher correlations of divisor sums related to primes III: k-correlations

D. A. Goldston, C. Y. Yıldırım|arXiv (Cornell University)|Sep 10, 2002

Analytic Number Theory Research参考文献 23被引用数 51

ひとこと要約

本稿では、von Mangoldt関数を近似する短い除数和のk相関に関する漸近公式を、複数の複素積分と留数計算を用いて確立する。主な結果は、計算可能な有理数定数 𝒞ₖ(𝐚) と特異級数 𝔖(𝐣) を含む正確な主要項であり、最適な切り捨てレベル R における素数定理への応用を可能にする。

ABSTRACT

We obtain the general k-correlations for a short divisor sum related to primes.

研究の動機と目的

• von Mangoldt関数 Λ(n) を近似する短い除数和のk相関に関する漸近公式を導出すること。
• 1-, 2-, 3相関に関する先行結果を任意の k ≥ 1 に一般化すること。
• 素数定理への応用を向上させるために、除数和近似における切り捨てレベル R の最適化を図ること。
• 多変数留数計算を用いて有理数定数 𝒞ₖ(𝐚) を明示的に計算し、その乗法的構造を確立すること。
• 近似 Λ_R と真の von Mangoldt 関数 Λ(n) を含む混合相関へ結果を拡張すること。

提案手法

• von Mangoldt関数をモデル化するため、短い除数和近似 Λ_R(n) = ∑_{d|n, d≤R} μ(d) log(R/d) を用いる。
• Perronの公式とディリクレ級数を用いて、k相関 𝒮ₖ(N,𝐣,𝐚) を複数の複素積分として表現する。
• 多変数留数計算を適用し、複素平面上の極からの寄与を特定することで主要項を評価する。
• 移動量 j_i の算術的構造を捉える特異級数 𝔖(𝐣) = ∏_p (1−1/p)^{−r}(1−ν_p(𝐣)/p) を導出する。
• 主項の最適化と一般化定数 𝒞ₖ(𝐚,θ) の導出のため、各移動量 j_i に対して異なる切り捨てレベル R_i = N^{θ_i} を導入する。
• 一般化された公式 𝒞ₖ(𝐚,θ) = ∏_{i=1}^r 𝒞_{a_i}(θ_i) を用いて、相対的な θ_i の値に依存する定数を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 N → ∞ のとき、k相関 ∑_n Λ_R(n+j₁)^{a₁}⋯Λ_R(n+j_r)^{a_r} の漸近的挙動は何か？
• RQ2 主要項に現れる有理数定数 𝒞ₖ(𝐚) は、移動量の重複パターン 𝐚 = (a₁,…,a_r) にどのように依存するか？
• RQ3 各移動量 j_i に対して異なる R_i を許容することで切り捨てレベル R を最適化できるか？ その場合、相関定数にどのような影響を与えるか？
• RQ4 相関定数は、θ_i = log R_i / log N の相対的な大きさにどのように依存するか？
• RQ5 結果は、Λ_R と Λ(n) を含む混合相関へどのように拡張できるか？ また、Bombieri–Vinogradov予想の下で有効範囲は何か？

主な発見

• k相関 𝒮ₖ(N,𝐣,𝐚) は、計算可能な有理数定数 𝒞ₖ(𝐚) を含む漸近的主項 (𝒞ₖ(𝐚)𝔖(𝐣) + o_k(1))N(log R)^{k−r} + O(R^k) を持つ。
• k ≤ 4 の場合、定数は明示的に計算可能である： 𝒞₁(1)=1, 𝒞₂(2)=1, 𝒞₂(1,1)=1, 𝒞₃(3)=3/4, 𝒞₄(4)=3/4 およびその他の有理数値。
• 定数は乗法的公式 𝒞ₖ(𝐚) = ∏_{i=1}^r 𝒞_{a_i} を満たし、ここで 𝒞_k = 𝒞_k(1,…,1) は基本定数である。
• 変動する切り捨てレベル R_i = N^{θ_i} を用いた一般化された相関では、𝒞ₖ(𝐚,θ) = ∏_{i=1}^r 𝒞_{a_i}(θ_i) が得られ、𝒞₃(θ) および 𝒞₄(θ) については θ_i の明示的式が得られる。
• 𝒞₄(θ) については、𝒞₄(θ) = θ₂θ₃θ₄ − ½θ₄(θ₂+θ₃−θ₁)²[θ₂+θ₃≥θ₁] − 1/32 A₄(A₄² + 6A₃A₄ + 4A₃²)[A₄≥0] が成り立ち、ここで A₃=θ₂+θ₃−θ₁, A₄=θ₁−θ₂−θ₃+θ₄ である。
• 混合相関 𝔗ₖ(N,𝐣,𝐚) は、分布のレベルが ϑ である Bombieri–Vinogradov 条件の下で、𝔗ₖ(N,𝐣,𝐚) = (𝒞ₖ(𝐚)𝔖(𝐣) + o_k(1))N(log R)^{k−r} を満たす。