[論文レビュー] Higher Derived Brackets and Deformation Theory I

Füsun Akman, Lucian M. Ionescu|ArXiv.org|Apr 26, 2005

Geometric and Algebraic Topology参考文献 14被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、可換結合的代数上の高階微分作用素の3つの定義の同値性を確立し、微分形式的代数に平方零の奇数次導来作用素を備えた場合の、コホモロジー上のsh-Lie代数のコホモロジー的構成法を導入する。主な貢献は、アーベル部分代数に限らない導来括弧構成法を一般化する枠組みを提供することであり、微分頂点作用素代数への適用が可能で、コホモロジー上に$L_\infty$-構造を生じさせる。

ABSTRACT

The existing constructions of derived Lie and sh-Lie brackets involve multilinear maps that are used to define higher order differential operators. In this paper, we prove the equivalence of three different definitions of higher order operators. We then introduce a unifying theme for building derived brackets and show that two prevalent derived Lie bracket constructions are equivalent. Two basic methods of constructing derived strict sh-Lie brackets are also shown to be essentially the same. So far, each of these derived brackets is defined on an abelian subalgebra of a Lie algebra. We describe, as an alternative, a cohomological construction of derived sh-Lie brackets. Namely, we prove that a differential algebra with a graded homotopy commutative and associative product and an odd, square-zero operator (that commutes with the differential) gives rise to an sh-Lie structure on the cohomology via derived brackets. The method is in particular applicable to differential vertex operator algebras.

研究の動機と目的

• 可換結合的代数上の高階微分作用素の3つの異なる定義の統一と同値性の証明。
• 微分形式的代数のコホモロジー上にsh-Lie（または$L_\infty$）代数を構成するためのコホモロジー的枠組みの確立。
• コホモロジーを用いて、導来括弧構成法をアーベル部分代数を超えて一般化することにより、従来の手法の限界を克服する。
• 微分頂点作用素代数およびトポロジカル頂点作用素代数へのこの構成法の適用性を示すこと。
• コホモロジー上での導来括弧構成法が、コホモロジーで積が可換かつ結合的である場合に一貫した$L_\infty$-構造を生じることを示すこと。

提案手法

• 多変線形写像に関する代数的恒等式と帰納法を用いて、高階微分作用素の3つの定義の同値性を証明する。
• 単位的左前Lie代数の自己準同型代数を、左乗法写像のLie部分代数と補空間に分解する。
• 導来括弧を公式$[da, b]$で定義し、Kosmann-SchwarzbachとVoronovの構成法の同値性を示す。
• 再帰的に$\Phi^{r+1}(a_1,\dots,a_{r+1}) = \Phi^{r}(a_1,\dots,a_r a_{r+1}) - \Phi^{r}(a_1,\dots,a_r)a_{r+1} \pm a_r \Phi^{r}(a_1,\dots,a_{r-1},a_{r+1})$により$\Phi^{r}_{\Delta}$を構成する。
• 微分$Q$の核と像を保存することを検証し、コホモロジー$H(V,Q)$上での定義の正当性を保証する。
• 微分$Q$と可換で、奇数次で平方零の作用素$\Delta$を備えた微分頂点作用素代数にこの構成法を適用し、コホモロジー上に$L_\infty$-構造を生じさせる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可換結合的代数上の高階微分作用素の3つの標準的定義は同値か？
• RQ2 アーベル部分代数に限らない状況において、コホモロジーを用いて導来括弧構成法を一般化できるか？
• RQ3 平方零の奇数次導来作用素$\Delta$を備えた微分代数が、そのコホモロジー上に$L_\infty$-構造を誘導する条件は何か？
• RQ4 同じ代数的構造に適用した場合、Kosmann-SchwarzbachとVoronovの導来括弧構成法はどのように関係するか？
• RQ5 微分VOAのコホモロジーが、導来括弧を通じて$L_\infty$-代数を実現する役割は何か？

主な発見

• 多変線形写像に基づく、反復導来作用素に基づく、Leibniz則に基づく3つの高階微分作用素の定義は、同値定理により同値であることが証明された。
• Kosmann-SchwarzbachとVoronovの導来括弧構成法は、基礎となる代数的構造の変更を通じて同値であることが示された。
• コホモロジー的導来括弧定理により、$Q$が奇数次で平方零の導来作用素であり、$\Delta$が$Q$と可換で奇数次で平方零の作用素である場合、$\Phi^{r}_{\Delta}$は$H(V,Q)$上に$L_\infty$-構造を誘導する。
• 導来括弧$\Phi^{r}_{\Delta}$は、帰納法により$\ker(Q)$および$\operatorname{im}(Q)$を保存するため、コホモロジー上で適切に定義された演算となる。
• 重み0の奇数次で平方零の導来作用素$\Delta$を備えた微分頂点作用素代数の場合、コホモロジー上に$L_\infty$-構造が得られる。
• $\Delta$が頂点作用素のモード$v_k$（$k \geq 1$）である場合、すべての$n$-項括弧（$n > k+1$）は消えるため、有限生成の$L_\infty$-構造が得られる。