[論文レビュー] Higher-Dimensional Algebra V: 2-Groups

John C. Baez, Aaron D. Lauda|ArXiv.org|Jul 15, 2003

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 26被引用数 221

ひとこと要約

この論文は、群法則が指定された同型を介して成り立つ、弱くかつ整合的な2群について包括的な紹介を提供する。『改善』2関手を用いて弱い2群と整合的な2群の2同値を確立し、群コホモロジーを用いて整合的な2群を分類し、単純なコンパクトな単純なリー群 $G$ のためにチャーン・サイモンズ理論から Lie 2群 $G_\hbar$ の族を構成し、$"] "\hbar=0$ が標準的位相を持つ唯一のケースであることを示している。

ABSTRACT

A 2-group is a "categorified" version of a group, in which the underlying set G has been replaced by a category and the multiplication map has been replaced by a functor. Various versions of this notion have already been explored; our goal here is to provide a detailed introduction to two, which we call "weak" and "coherent" 2-groups. A weak 2-group is a weak monoidal category in which every morphism has an inverse and every object x has a "weak inverse": an object y such that x tensor y and y tensor x are isomorphic to 1. A coherent 2-group is a weak 2-group in which every object x is equipped with a specified weak inverse x* and isomorphisms i_x: 1 -> x tensor x* and e_x: x* tensor x -> 1 forming an adjunction. We describe 2-categories of weak and coherent 2-groups and an "improvement" 2-functor that turns weak 2-groups into coherent ones, and prove that this 2-functor is a 2-equivalence of 2-categories. We internalize the concept of coherent 2-group, which gives a quick way to define Lie 2-groups. We give a tour of examples, including the "fundamental 2-group" of a space and various Lie 2-groups. We also explain how coherent 2-groups can be classified in terms of 3rd cohomology classes in group cohomology. Finally, using this classification, we construct for any connected and simply-connected compact simple Lie group G a family of 2-groups G_hbar (for integral values of hbar) having G as its group of objects and U(1) as the group of automorphisms of its identity object. These 2-groups are built using Chern-Simons theory, and are closely related to the Lie 2-algebras g_hbar (for real hbar) described in a companion paper.

研究の動機と目的

• 弱くかつ整合的な2群について、初心者向けに詳細かつアクセス可能な導入を提供すること。
• 2群の異なる定式化、特に厳密な2群、交差モジュール、カテゴリカル群の関係を明確にすること。
• 『改善』2関手を用いて、弱い2群の2カテゴリと整合的な2群の2カテゴリの間の2同値を確立すること。
• 群コホモロジー、特に $H^3(G,H)$ を用いて整合的な2群を分類し、その分類を用いて新しい Lie 2群の例を構成すること。
• 2群の位相的および幾何的制約、特に非自明な $G_\hbar$（$"] "\hbar \neq 0$）が標準的位相を持つトポロジカル2群や Lie 2群として実現できないことの理由を明らかにすること。

提案手法

• 弱い2群を、すべての射と対象が弱い逆元を持つ弱いモノイダル圏として定義し、整合性同型が満たされることを要請する。
• 整合的な2群を、指定された弱い逆元と随伴同型 $i_x: 1 \to x \otimes \bar{x}$、$e_x: \bar{x} \otimes x \to 1$ を持つ弱い2群として定義する。
• 各弱い2群に整合的な2群を割り当てる『改善』2関手を構成し、これが2カテゴリの間の2同値であることを証明する。
• 有限積を持つ圏内で整合的な2群の概念を内部化し、Lie 2群と特別な2群を定義する。
• 群コホモロジー $H^3(G,H)$ を用いて整合的な2群を分類し、$G$ を群、$H$ をアーベル群、$\alpha$ を $G$ の $H$ への作用とする。
• 単純に連結でコンパクトかつ単純なリー群 $G$ に対して、$G$ を対象の群、$"] "\mathrm{U}(1)$ を単位対象の自己同型群とする2群 $G_\hbar$ の族を、チャーン・サイモンズ理論を用いて構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 弱い2群と整合的な2群は、数学的に厳密でありながら初心者にも理解しやすい方法で、どのように正確に定義され、区別されるべきか？
• RQ2 弱い2群の2カテゴリと整合的な2群の2カテゴリの間には、2カテゴリカルな同値が存在するか？
• RQ3 群コホモロジーを用いて整合的な2群を分類できるか？また、この分類はその構造にどのような情報を明らかにするか？
• RQ4 2群 $G_\hbar$ を標準的位相を持つトポロジカル2群や Lie 2群として実現する際の位相的障害は何か？
• RQ5 チャーン・サイモンズ理論は、与えられたリー群 $G$ に対して、2群 $G_\hbar$ の族をどのように生じさせるのか？また、$"] "\hbar \in \mathbb{Z}$ はどのような役割を果たすか？

主な発見

• 弱い2群から整合的な2群への『改善』2関手は2同値であるため、整合性は一般性を失うものではないことが示された。
• 整合的な2群は、$[a] \in H^3(G, H)$ を満たす四つ組 $(G, H, \alpha, [a])$ によって分類され、完全なコホモロジー的分類が確立された。
• 連結でコンパクトなリー群 $G$ とアーベルなリー群 $H$ に対して、連続コホモロジー $H^3_{\rm cont}(G,H)$ は自明であるため、このような $G$ と $H$ を持つ特別なトポロジカル2群は、常に厳密な2群と同値である。
• チャーン・サイモンズ理論から構成された2群 $G_\hbar$ は、$"] "\hbar = 0$ のみのとき、厳密な2群と同値であることが示された。これは、非自明な $"] "\hbar$ 値が標準的位相を持つものとして実現できないことを示している。
• $G$ が単純に連結で、コンパクトかつ単純な場合、対象が $G$ で、単位対象の自己同型群が $"] "\mathrm{U}(1)$ である（標準的位相を備えた）トポロジカル2群としての唯一の可能性は $G_0$ である。これは、$"] "\hbar = 0$ が唯一の実現可能なケースであることを証明している。
• チャーン・サイモンズ理論による $G_\hbar$ の構成は、同伴の論文で述べられている Lie 2代数 $\mathfrak{g}_\hbar$ と密接に関連する自然な2群の族を提供する。