[論文レビュー] Higher dimensional black hole initial data with prescribed boundary metric

Armando J. Cabrera Pacheco, Pengzi Miao|arXiv (Cornell University)|May 7, 2015

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 13被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、$S^n$ ($n \geq 3$) 上の所定の境界計量を持つ、高次元で漸近的に平坦なブラックホール初期データセットを構成する。2段階の手法を用いる：まず、正のスカラー曲率経路を介して境界計量を球面に変形する（$n=3$ の場合はMarquesの定理、$n \geq 4$ の場合は逆曲率流れを用いる）、次に、スワーツシルト計量に接合する。主な結果は、ADM質量をリーマン・ペネロープ不等式の下界に限りなく近づけることができ、高次元における不等式の不安定性を示している。

ABSTRACT

We obtain higher dimensional analogues of the results of Mantoulidis and Schoen in [8]. More precisely, we show that (i) any metric $g$ with positive scalar curvature on the $3$-sphere $S^3$ can be realized as the induced metric on the outermost apparent horizon of a $4$-dimensional asymptotically flat manifold with non-negative scalar curvature, whose ADM mass can be arranged to be arbitrarily close to the optimal value specified by the Riemannian Penrose inequality; (ii) any metric $g$ with positive scalar curvature on the $n$-sphere $S^n$, with $ n \ge 4 $, such that $(S^n, g)$ isometrically embeds into $\mathbb{R}^{n+1}$ as a star-shaped hypersurface, can be realized as the induced metric on the outermost apparent horizon of an $(n+1)$-dimensional asymptotically flat manifold with non-negative scalar curvature, whose ADM mass can be made to be arbitrarily close to the optimal value.

研究の動機と目的

• ADM質量が最適に近い初期データの3次元構成（MantoulidisとSchoenによるもの）を高次元に拡張すること。
• 任意の正のスカラー曲率計量が、非負のスカラー曲率を有する漸近的に平坦な多様体の外側のあり得る視界として実現可能であることを示すこと。
• このような多様体のADM質量が、リーマン・ペネロープ不等式が予測する最適値に限りなく近づけることを示すこと。
• 非対称な視界幾何構造を有する近似的に最小質量の構成により、高次元におけるリーマン・ペネロープ不等式の不安定性を確立すること。

提案手法

• Marquesの定理を用いて、与えられた計量 $g$ から球面計量への滑らかな正のスカラー曲率計量の経路を $S^3$ 上に構成する。
• $n \geq 4$ の場合、$\mathbb{R}^{n+1}$ 内の逆曲率流れを用いて、$S^n$ 上の与えられた計量 $g$ を正のスカラー曲率を保ちながら球面計量に変形する。
• 変形経路を体積を保存するように正規化し、初期端で元の $g$ と一致するようにする。
• コンフォーマル因子とパrameter $\varepsilon$ を用いて、$[0,1] \times S^n$ 上に正のスカラー曲率を持つコラージュ拡張を構成し、$t=0$ で $g$ に一致し、$t=1$ で球面計量に一致させる。
• 正のスカラー曲率ブリッジを用いて、このコラージュを質量 $m$ の空間的スワーツシルト計量に接合し、計量と第二基本形式が滑らかに一致するようにする。
• $\omega_n (2m)^{n/(n-1)} > \mathrm{vol}(g)$ となるように $m$ を選ぶことで、質量がPenrose不等式の下界に限りなく近づくようにする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の正のスカラー曲率計量が、非負のスカラー曲率とADM質量がPenrose不等式の下界に限りなく近い4次元の漸近的に平坦な多様体の外側のあり得る視界として実現可能か？
• RQ2 $n \geq 4$ の場合、$\mathbb{R}^{n+1}$ に等長埋め込みされ、星型超曲面をなす任意の計量が、非負のスカラー曲率とADM質量がPenrose不等式の値に限りなく近い漸近的に平坦な初期データセットを有するか？
• RQ3 非回転対称な視界幾何構造を有する近的最小質量の構成により、高次元におけるリーマン・ペネロープ不等式の不安定性を明示的に示せるか？
• RQ4 3次元のMantoulidis-Schoen構成を高次元に拡張するために必要な幾何学的・解析的道具は何か？

主な発見

• 任意の正のスカラー曲率を持つ $S^3$ 上の計量 $g$ に対して、非負のスカラー曲率を有する4次元の漸近的に平坦な多様体が存在し、その最小境界は $(S^3,g)$ に等長であり、ADM質量は $\left(\mathrm{vol}(g)/(16\pi)\right)^{1/2}$ に限りなく近づけることができる。
• $n \geq 4$ の場合、$\mathbb{R}^{n+1}$ に等長埋め込みされ、星型超曲面をなす任意の正のスカラー曲率を持つ $S^n$ 上の計量 $g$ に対して、非負のスカラー曲率を有する $(n+1)$ 次元の漸近的に平坦な多様体が存在し、その最小境界は $(S^n,g)$ に等長であり、ADM質量は $\frac{1}{2}\left(\mathrm{vol}(g)/\omega_n\right)^{(n-1)/n}$ に限りなく近づけることができる。
• 構成法により、多様体は最終的にスワーツシルト幾何における回転対称的 $n$-球面と一致する平均凸な $n$-球面によるファイブレーションを持つ。
• ADM質量は、視界幾何が球面から大きく離れていても、リーマン・ペネロープ不等式が示す最適値に限りなく近づける。
• この手法は、正のスカラー曲率経路を用いた境界計量の体積保存的変形に依存しており、$n=3$ の場合はMarquesの定理、$n \geq 4$ の場合は逆曲率流れを用いて経路を構成する。
• 接合手順では、正のスカラー曲率ブリッジを用いてコラージュ拡張をスワーツシルト計量に接合し、適切に $\varepsilon$ と $\delta$ を選ぶことで計量と第二基本形式が一致する。