[論文レビュー] Higher dimensional spacetimes with a geodesic, shearfree, twistfree and expanding null congruence

Marcello Ortaggio|ArXiv.org|Jan 5, 2007

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 18被引用数 15

ひとこと要約

本稿は、D > 4 の高次元時空で、測地的で、歪みがなく、ねじれがなく、拡張する光線束を有するもの—D=4 の Robinson-Trautman 系列の拡張—を分類する。幾何学的アプローチを用い、宇宙定数または整合された純粋放射を伴うアインシュタイン方程式を解くことで、タイプ III および N の真空中解が D > 4 では Goldberg-Sachs 定理の「破れ」により存在できないことが示され、これは D=4 とは異なり、タイプ III および N の真空中解が D=4 では存在可能である。また、重力場と電磁場の光線束の間の形式的類似性を確立し、D > 4 では拡張する場合に必ず歪みを伴うことが示された。

ABSTRACT

We present the complete family of higher dimensional spacetimes that admit a geodesic, shearfree, twistfree and expanding null congruence, thus extending the well-known D=4 class of Robinson-Trautman solutions. Einstein's equations are solved for empty space with an arbitrary cosmological constant and for aligned pure radiation. Main differences with respect to the D=4 case (such as the absence of type III/N solutions, related to ``violations'' of the Goldberg-Sachs theorem in D>4) are pointed out, also in connection with other recent works. A formal analogy with electromagnetic fields is briefly discussed in an appendix, where we demonstrate that multiple principal null directions of null Maxwell fields are necessarily geodesic, and that in D>4 they are also shearing if expanding.

研究の動機と目的

• D > 4 時空において、測地的で、歪みがなく、ねじれがなく、拡張する光線束を有するものを体系的に導出し、分類すること。
• D > 4 におけるアインシュタイン方程式に、宇宙定数および整合された純粋放射を含めた幾何的制約の影響を調査すること。
• D > 4 における Goldberg-Sachs 定理の破綻、特に代数的型 III および N の歪みなし・ねじれなし・拡張する解の不在を明確にすること。
• 高次元における重力場と電磁場の光線束の間の形式的類似性を調査し、特に主光線方向の光学的性質を比較すること。

提案手法

• 光線束のねじれと歪みがゼロで、拡張が非ゼロであるという幾何的仮定の下で、一般形の線素を導出する。
• u（光線に沿って定数）、r（測地線に沿うアフィンパラメータ）、横方向空間座標 x^i を用いた光線座標系を導入し、g^{ur} = -1 および g^{ui} = 0 を満たす特定の計量アンサンブを導出する。
• 光線束の接続の光学スカラー分解を適用し、拡張 θ、歪み σ_ij、ねじれ A_ij を空間行列 K_ij を用いて定義する。
• 宇宙定数を伴う真空中および整合された純粋放射を伴うアインシュタイン方程式を、幾何的制約を用いて場方程式を簡略化することで解く。
• k, l, m^{(i)} の光線フレームを用いて Weyl スカラーを分解し、特に代数的型の分析に焦点を当て、D > 4 におけるタイプ III/N 解の不在を検証する。
• D > 4 における光線 Maxwell 場を、負のブースト重み成分（F_{0i}=F_{01}=F_{ij}=0）を仮定することで解析し、F_{μν} = 2F_{1i}k_{[μ}m^{(i)}_{ν]} を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 測地的で、歪みがなく、ねじれがなく、拡張する光線束によって定義される Robinson-Trautman 型解は、D > 4 時空に一貫して拡張可能か？
• RQ2 D=4 では存在可能であるタイプ III および N の真空中解が D > 4 では存在しないのはなぜか？これは Goldberg-Sachs 定理の破れとどのように関係するか？
• RQ3 高次元 Maxwell 場における複数の主光線方向の光学的性質は何か？重力場におけるそれらと比較するとどうなるか？
• RQ4 D > 4 における光学スカラー（θ, σ_ij, A_ij）の制約は、D=4 の場合とどのように異なるか？特にアインシュタイン方程式の文脈で。
• RQ5 高次元における重力と電磁気学の両方における光線束の振る舞いに、どのような形式的類似性が存在するか？

主な発見

• D > 4 では、測地的で、歪みがなく、ねじれがなく、拡張する光線束を有する真空中時空は、D=4 とは異なり、代数的型 III および N にはなり得ない。これは Goldberg-Sachs 定理の「破れ」に起因する。
• D > 4 におけるタイプ III/N 解の不在は、拡張する多重主光線方向が、必ず非ゼロの歪みを伴う必要があることから生じる。これは歪みなし条件と矛盾する。
• D > 4 における整合された純粋放射では、同様の幾何的制約が一貫した解族を導き、D=4 の場合を高次元に拡張する。
• D > 4 におけるタイプ N の光線 Maxwell 場（負のブースト重み成分のみを有する）は、多重主光線方向が測地的であるが、拡張する場合には必ず歪みを伴う。
• 式 2F_{1i}σ_{ij} - (D-4)θF_{1j} = 0 は、D > 4 では拡張する光線 Maxwell 場（θ ≠ 0）は非ゼロの歪み（σ_ij ≠ 0）を有する必要があることを示し、D=4 では歪みが恒等的にゼロとなる。
• 重力と電磁気学の間の形式的類似性は強化される：高次元では、拡張する場合に必ず歪みを伴う多重主光線方向が、重力の Weyl スカラーにおいても同様に成り立つ。