[論文レビュー] Higher Dimensional Supersymmetry

O. P. S. Negi|ArXiv.org|Aug 2, 2006

Quantum and Classical Electrodynamics被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、ボソンおよびフェルミオンの自由度を統一するため、クォータニオンを用いた高次元スーパーサイムメトリーフレームワークを提案する。ディラック方程式およびダイオンのゲージ理論を再定式化する。クォータニオン代数と非アーベル構造を活用することで、4次元実スーパーサイムメトリー（N=4）がクォータニオン量子力学と同型であることを確立し、ゲージ相互作用およびスーパーチャージがクォータニオン単位から自然に導かれることを示す。質量のある、質量のない、相互作用のある系、特にダイオンへの応用を含む。

ABSTRACT

Higher dimensional super symmetry has been analyzed in terms of quaternion variables and the theory of quaternion harmonic oscillator has been analyzed. Supersymmertization of quaternion Dirac equation has been developed for massless,massive and interacting cases including generalized electromagnetic fields of dyons. Accordingly higher dimensional super symmetric gauge theories of dyons are analyzed.

研究の動機と目的

• ゲージ階層問題に対処するため、クォータニオンを用いた高次元スーパーサイムメトリックな量子力学フレームワークを構築すること。
• クォータニオン変数を用いた非アーベルスーパーサイムメトリックゲージ理論において、ダイオンとモノポールの記述を統一すること。
• N=4 実スーパーサイムメトリーがクォータニオン形式と同型であることを示し、複素数 N=2 および実数 N=1 SUSY を一般化すること。
• ハミルトニアンとスーパーチャージが可換であり、スーパーサイムメトリーが保たれることを示し、クォータニオン構造が自然にゲージ相互作用を生成すること。

提案手法

• 非アーベル乗法則を有するハイパーカーディナル数としてのクォータニオンを形式化し、単位クォータニオン e₀, e₁, e₂, e₃ の代数的関係を用いる。
• クォータニオンの共役、ノルム、逆数を定義し、正定値ノルムおよび合成則 N(φ₁φ₂) = N(φ₁)N(φ₂) を保証する。
• ボソンおよびフェルミオンの交換関係と反交換関係を用いて、クォータニオン調和振動子のハミルトニアンと数演算子を構築する。
• 質量のない、質量のある、相互作用のある系におけるクォータニオンディラック方程式を導出する。ダイオンの一般化された電磁場は、複素化されたポテンシャルを介して扱う。
• スーパーチャージとスーパーパートナーハミルトニアンをクォータニオン微分作用素で表現する。H = q†q および H = qq† とし、q = ∑ ej(∇j + Wj) とする。
• N=4 実スーパーサイムメトリー代数がクォータニオン代数と同型であることを確立し、αj および βj 行列が 4×4 実表現としてクォータニオンと同型であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ボソンとフェルミオンを非アーベル枠組みで統一する高次元スーパーサイムメトリーを、クォータニオンを用いて一貫して定式化できるか？
• RQ2 クォータニオン構造は、ダイオンのスーパーサイムメトリック理論において、どのように自然にゲージ相互作用を生成するか？
• RQ3 N=4 実スーパーサイムメトリーとクォータニオン量子力学の関係は、複素数 N=2 および実数 N=1 SUSY と比べてどう異なるか？
• RQ4 パウリ行列と同型な行列表現を用いて、クォータニオン単位がスーパーサイムメトリー代数を実現できるか？
• RQ5 このフレームワークへのオクタニオンへの一般化が不適切なのはなぜか。代数的障害は何か？

主な発見

• ハミルトニアン作用素がスーパーチャージと可換であるため、フェルミオン状態とボソン状態の間でのスーパーサイムメトリー変換のもとで系の不変性が確認された。
• クォータニオン成分の制約の下で、粒子ハミルトニアンおよび数演算子の固有値が導出され、非負定値性が示された。
• N=1、N=2、N=4 スーパー サイムメトリー代数のクォータニオン形式再定式化により、クォータニオンが複素数とは異なり、4次元実表現を自然に提供することが明らかになった。
• ゲージ相互作用がベクトルスーパーポテンシャル Wj から自然に生じるため、スーパーパートナーハミルトニアン H₁ = q†q および H₂ = qq† がクォータニオン微分作用素から構築された。
• N=4 スーパー サイムメトリー代数の 4×4 実行列表現はクォータニオン代数と同型であり、αj および βj 行列は e₁, e₂, e₃ と同じ関係を満たす。
• 非結合性のため、オクタニオンへの一般化は非可換性によって破壊され、スーパーサイムメトリーに必要な代数的構造の整合性が保てないため、排除される。