[論文レビュー] Higher dimensional Zariski decompositions

Sébastien Boucksom|arXiv (Cornell University)|Apr 29, 2002

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 7被引用数 16

ひとこと要約

本稿では、最小特異性を有する電流を用いて、コンpact複素n-次元多様体上の実擬効性(1,1)-類に対して、除因子的ザリスキ分解を導入する。負部$N(\alpha)$は例外的効果的$\mathbf{R}$-除因子として定義され、正部$Z(\alpha)$は修正されたネフ錐内に位置する。主な貢献は、古典的ザリスキ分解を高次元およびハイパーケーラー多様体へ一般化する、自然で直交的な分解$\alpha = Z\left(\alpha\right) + \{N\left(\alpha\right)\}$の確立であり、表面の場合の有理的性と3次元多様体における無理的性は体積計算によって示される。

ABSTRACT

Using currents with minimal singularities, we construct pointwise minimal multiplicities for a real pseudo-effective $(1,1)$-class $α$ on a compact complex $n$-fold $X$, which are the local obstructions to the numerical effectivity of $α$. The negative part of $α$ is then defined as the real effective divisor $N(α)$ whose multiplicity along a prime divisor $D$ is just the generic multiplicity of $α$ along $D$, and we get in that way a divisorial Zariski decomposition of $α$ into the sum of a class $Z(α)$ which is nef in codimension 1 and the class of its negative part $N(α)$, which is exceptional in the sense that it is very rigidly embedded in $X$. The positive parts $Z(α)$ generate a modified nef cone, and the pseudo-effective cone is shown to be locally polyhedral away from the modified nef cone, with extremal rays generated by exceptional divisors. We then treat the case of a surface and a hyper-Kähler manifold in some detail: under the intersection form (resp. the Beauville-Bogomolov form), we characterize the modified nef cone and the exceptional divisors; our divisorial Zariski decomposition is orthogonal, and is thus a rational decomposition, which fact accounts for the usual existence statement of a Zariski decomposition on a projective surface, which is thus extended to the hyper-Kähler case. Finally, we explain how the divisorial Zariski decomposition of (the first Chern class of) a big line bundle on a projective manifold can be characterized in terms of the asymptotics of the linear series $|kL|$ as $k o\infty$.

研究の動機と目的

• ザリスキの古典的分解を表面から高次元コンパクト複素多様体へ拡張すること。
• 最小特異性を有する電流を用いて、実擬効性的$(1,1)$-類に対する標準的除因子的ザリスキ分解を定義すること。
• ハイパーケーラー多様体上でのブルア＝ボゴモロフ形式を用いて、修正されたネフ錐を特徴付け、例外的除因子を同定すること。
• ザリスキ分解が表面では直交的かつ有理的であるが、3次元多様体では無理的であることを示し、線形系列$|kL|$の漸近的挙動およびビッグライン bundle の体積に与える影響を明らかにすること。

提案手法

• 最小特異性を有する電流を用いて、点$x \in X$における最小多重度$\nu(\alpha,x)$を構成し、数値的効果的性への局所的障害を測定する。
• 素除因子$D$を走る$\nu(\alpha,D)D$の和として負部$N(\alpha) = \sum \nu(\alpha,D)D$を定義する。これは効果的$\mathbf{R}$-除因子であり、埋め込みにおいて例外的である。
• ザリスキ射影$Z(\alpha) = \alpha - \{N(\alpha)\/}$を定義し、これは$X$の修正されたネフ錐内に位置する。修正されたネフ錐は、変形によるケーラー類の押し出しの閉包として定義される。
• 正の電流の最小特異性を用いたSiu分解を用いて、$\alpha$がビッグのとき除因子的ザリスキ分解を実現する。
• ハイパーケーラー多様体上ではブルア＝ボゴモロフ形式を用いて、修正されたネフ錐を擬効果的錐の双対として特徴付ける。
• 正部$p$の非ケーラー集合を用いた基準を確立し、除因子的ザリスキ分解を同定するための基準を構築する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ザリスキの古典的分解は、表面から高次元コンパクト複素多様体へ一般化可能か？
• RQ2 高次元における負部$N(\alpha)$の幾何学的・コホノロジー的意味は何か？ また、どのように特徴付けられるか？
• RQ3 高次元において、修正されたネフ錐と擬効果的錐の関係は何か？ その構造はいかなるものか？
• RQ4 除因子的ザリスキ分解は高次元において直交的かつ有理的か？ 特にハイパーケーラー多様体上ではどうか？
• RQ5 この分解は、線形系列$|kL|$の漸近的挙動およびビッグライン bundle の体積にどのような影響を及えるか？

主な発見

• 除因子的ザリスキ分解$\alpha = Z(\alpha) + \{N(\alpha)\}$は、射影的表面において標準的かつ直交的であり、$Z(\alpha)$はネフであり、$N(\alpha)$は負定値の交差行列を持つ効果的除因子である。
• ハイパーケーラー多様体上では、この分解はブルア＝ボゴモロフ形式に関して直交的であり、例外的除因子は正確に自己交差が負であるものに一致する。
• 修正されたネフ錐は、双有理ケーラー錐の閉包であり、ハイパーケーラー多様体上では擬効果的錐の双対である。
• ザリスキ射影$Z$は擬効果的錐から修正されたネフ錐へ写像し、その纤维は例外的族によって生成される単体的錐の可算和である。
• 3次元多様体上でのビッグライン bundle の体積は無理数になり得る。これは、$v(L) = Z(L)^3$が$\mu_L$に関する3次多項式であることを示した計算によって明らかである。一般の$H$および$D$に関して$\mu_L$は無理数である。
• 線形系列$|kL|$の漸近的挙動は除因子的ザリスキ分解によって特徴付けられ、$L$がビッグのとき$H^0(kL) \cong H^0(kZ(L))$が成り立つ。