[論文レビュー] Higher direct images of Lagrangian fibrations

Daisuke Matsushita|arXiv (Cornell University)|Oct 29, 2000

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 2被引用数 11

ひとこと要約

この論文は、滑らかで射影的多様体の間のラグランジュ被覆 $f: X \to S$ に対して、双対化層の高次直接像が $R^i f_* \omega_X \cong \Omega^i_S$ を満たすことを証明し、基底上の微分形式の層との同型を与える。これは、基底空間 $S$ が射影空間と同じホッジ数を持つことを示し、特異点集合が正則交叉超曲面でない場合でも成り立つという、従来の結果の主要な一般化である。

ABSTRACT

We prove that the higher direct images of the dualizing sheaf of a Lagrangian fibration between smooth projective manifolds are isomorphic to the cotangent bundles of base space. As a corollary, we obtain that every Hodge number of the base space of a fibre space of an irreducible symplectic manifold is the same to that of a projective space if the base space is smooth.

研究の動機と目的

• ラグランジュ被覆の双対化層の高次直接像と基底上の微分形式の層との同型を確立すること。
• 滑らかで射影的多様体間のラグランジュ被覆に対して、$R^i f_* \mathcal{O}_X \cong \Omega^i_S$ が成り立つことを示すこと、特に特異点集合が正則交叉超曲面でない場合にも成り立つこと。
• 不可約シンプレクティック多様体のファイバー空間の基底空間が、射影空間 $\mathbb{P}^n$ と同じホッジ数を持つことの証明。
• 特に $\dim X = 4$ の場合に $R^{n-1}f_* \omega_{X/S}$ のネフ性およびオーダリティを調べること。

提案手法

• 単位的モノドロミーを有するアーベル被覆に対して、相対的コンactification技術を用い、特異性を制御する。
• 特異ファイバーの双対グラフに対するトロイダルモデル理論と群作用を用いて、特異点集合付近の全空間の構造を分析する。
• 相対的正則バンドル公式と $\mathcal{O}_X$-双対性を用い、$R^i f_* \omega_X$ を $\Omega^i_S$ と関連付ける。
• $K_X$ が $f$-自明であり、ファイバーが非特異的であることを用いて、コホロロジー的性質の整合性を保証する。
• 最小モデル理論とエタール被覆を用いて特異点を解消し、相対的最小モデルを構成する。
• codimension 1 の点における特異ファイバーの分類に依拠し、被覆の局所構造と群作用による不変性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ラグランジュ被覆の特異点集合が正則交叉超曲面でない場合でも、$R^i f_* \omega_X$ は局所自由のままであるか？
• RQ2 不可約シンプレクティック多様体のファイバー空間の基底空間 $S$ は、必ずフェノ型であり、ホッジ数が $\mathbb{P}^n$ と同じか？
• RQ3 $X$ が不変シンプレクティック多様体であるとき、$R^{n-1}f_* \omega_{X/S}$ はネフまたはオーダリティか？
• RQ4 同型 $R^i f_* \omega_X \cong \Omega^i_S$ は、非射影的ラグランジュ被覆へ拡張可能か？
• RQ5 特異点集合が正則交叉でないラグランジュ被覆において、codimension 1 の点における特異ファイバーの構造はいかなるものか？

主な発見

• 高次直接像 $R^i f_* \mathcal{O}_X$ は基底 $S$ 上の微分形式の層 $\Omega^i_S$ と同型であり、すなわち $R^i f_* \mathcal{O}_X \cong \Omega^i_S$ が成り立つ。
• 不可約シンプレクティック多様体のファイバー空間の基底空間 $S$ は、$\mathbb{P}^n$ と同じホッジ数を持ち、$h^{p,q}(S) = 1$（$p=q$ のとき）かつそれ以外は $0$ である。
• 特異点集合が正則交叉超曲面でない場合でも、この結果は成り立つ。これは、従来の結果がこの条件を必要としていたのを一般化する。
• $\dim X = 4$ の場合、$R^{n-1}f_* \omega_{X/S}$ はネフであり、$X$ が不変シンプレクティック多様体であれば、オーダリティである。
• 相対的双対化層 $\omega_{X/S}$ は、$R^{n-1}f_* \omega_{X/S} \cong T_S$（$S$ の接バンドル）を定める自然な同型を与える。これは、重要な双対性の主張である。
• 証明は、群作用とエタール被覆を用いた相対的最小モデルの構成に依拠しており、全空間が滑らかで $f$-自明な正則クラスを保つことを保証する。