[論文レビュー] Higher equivariant and invariant topological complexity

Marzieh Bayeh, Soumen Sarkar|arXiv (Cornell University)|Apr 21, 2018

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 11被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、複数の入力点を伴う群作用への一般化として、高次の等長的および不変トポロジカル・コンプレックスを導入する。これはファーバーのトポロジカル・コンプレックスを群作用に拡張したものである。これらの不変量に対する上限を確立し、モーメント・アングル複体に対して計算を実施。高次の等長的トポロジカル・コンプレックスは等長的LSカテゴリーによって上から有界であり、基礎となる単体複体の最大単体を含む明示的公式が得られる。

ABSTRACT

In this paper we introduce the concepts of higher equivariant and invariant topological complexity; and study their properties. Then we compare them with equivariant LS-category. We give lower and upper bounds for these new invariants. We compute some of these invariants for moment angle complexes.

研究の動機と目的

• 運動計画における群作用と複数の入力点を含むトポロジカル・コンプレックスの一般化を図ること。
• 群作用の下での不変量としての高次の等長的および不変トポロジカル・コンプレックスの定義と研究を行うこと。
• これらの新しい不変量と等長的LSカテゴリーとの関係を比較し、上限および下限を確立すること。
• 単体複体から生じるモーメント・アングル複体に対してこれらの不変量を計算すること。
• 代数的不変量（例えばスターリング＝ライスナー環、ゼロ除算カップ長）とこれらのトポロジカル不変量との関係を明らかにすること。

提案手法

• コンパクト群GのX×Xへの対角作用を用いて、高次の等長的トポロジカル・コンプレックスを導入すること。
• G×GのX×Xへの積作用を用いて、高次の不変トポロジカル・コンプレックスを定義すること。
• 軌道類と軌道図を用いて、群作用の構造を分析し、軌道型を分類すること。
• G-ホモトピーとG-収縮の概念を用いて、G-カテゴリー的部分集合を定義し、等長的カテゴリーを計算すること。
• やや弱い仮定の下で等長的LSカテゴリーの積公式を適用し、上限を導出すること。
• 多面体積への分解を分析し、最大単体およびスターリング＝ライスナー環と関連付けることにより、モーメント・アングル複体の不変量を計算すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 運動計画における群作用と複数の入力点を含むトポロジカル・コンプレックスは、どのように一般化できるか？
• RQ2 高次の等長的トポロジカル・コンプレックス、高次の不変トポロジカル・コンプレックス、等長的LSカテゴリーの間にはどのような関係があるか？
• RQ3 高次の不変トポロジカル・コンプレックスが有限である条件は何か。また、無限大となる条件は何か？
• RQ4 モーメント・アングル複体に対して、高次の等長的および不変トポロジカル・コンプレックスはどのように振る舞うか？
• RQ5 これらのトポロジカル不変量を有界化または計算するために、代数的不変量（例：ゼロ除算カップ長）はどのように利用できるか？

主な発見

• G-空間Xの高次の等長的トポロジカル・コンプレックスは、XがT^m-連結である場合には、Xの等長的LSカテゴリーによって上から有界である。
• モーメント・アングル複体Z_Kに対して、等長的LSカテゴリーcat_{T^m}(Z_K)は単体複体Kの最大単体の数に等しい。
• 空間に1つより多くの最小軌道類を含む場合、高次の不変トポロジカル・コンプレックスは無限大である。
• 高次の等長的トポロジカル・コンプレックスTC_{T^m,2}(Z_K)は、ゼロ除算カップ長ZCL(K)によって下から有界であり、かつ∑_{i,j=1}^s (k_{ij}+1)によって上から有界であり、ここでk_{ij} = |([m]−σ_i) ∩ ([m]−σ_j)|である。
• モーメント・アングル複体Z_KはT^m-連結であるため、積作用を介してTC_{T^m,2}(Z_K)の上界が支持される。