[論文レビュー] Higher-form symmetries and spontaneous symmetry breaking

Ethan Lake|arXiv (Cornell University)|Feb 21, 2018

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 5被引用数 30

ひとこと要約

この論文はゴールドストーンの定理の高次形式を確立し、コールメン-メルミン=ワーグナーの定理を一般化して、p ≥ D−2 のとき、D次元時空において連続的p形式対称性は自発的対称性の破れを起こせないことを示している。p形式U(1)ゲージ理論において自発的対称性の破れが生じる場合のゲージ固定と境界条件を分析し、コhomologyとポアンカレ双対性がグローバル対称性および保存電流を分類する役割を明確にしている。

ABSTRACT

We study various aspects of spontaneous symmetry breaking in theories that possess higher-form symmetries, which are symmetries whose charged objects have a dimension $p>0$. We first sketch a proof of a higher version of Goldstone's theorem, and then discuss how boundary conditions and gauge-fixing issues are dealt with in theories with spontaneously broken higher symmetries, focusing in particular on $p$-form $U(1)$ gauge theories. We then elaborate on a generalization of the Coleman-Mermin-Wagner theorem for higher-form symmetries, namely that in spacetime dimension $D$, continuous $p$-form symmetries can never be spontaneously broken if $p\geq D-2$. We also make a few comments on relations between higher symmetries and asymptotic symmetries in Abelian gauge theory.

研究の動機と目的

• 自発的対称性の破れを示すp形式グローバル対称性の高次形式版のゴールドストーンの定理を確立すること。
• ゲージ固定と境界条件がp形式U(1)ゲージ理論における高次対称性の破れの性質に与える影響を分析すること。
• コールメン-メルミン=ワーグナーの定理を一般化し、D次元時空においてp ≥ D−2 のとき、連続的p形式対称性が自発的対称性の破れを起こせないことを示すこと。
• コホモロジー群がグローバルp形式対称性およびそれに関連する保存p+1形式電流を分類する役割を明確にすること。
• アーベルゲージ理論における高次形式対称性と漸近的対称性との関係を調査すること。

提案手法

• p形式接続Aを用いて、p形式対称性の下で荷電を帯びるウィルソン表面および高次ウィルソン演算子を定義する。
• 微分形式およびホッジスター作用素を用いて、d†J = 0 を満たす保存p+1形式電流Jを定義する。
• ポアンカレ双対性を用いてp形式を余次元-pの部分多様体に関連づけ、M_{D−p} 上での積分により電荷演算子を定義する。
• グローバルp形式対称性をA ↦ A + λ として特徴づけ、ここでλは閉じたp形式（平坦接続）であり、H^p(X) によって分類される。
• コホモロジー的技法を用いて、自発的対称性の破れを伴う理論におけるゲージ固定と境界条件を分析する。
• ホッジラプラシアンと随伴外微分d†を用いて内積を定義し、境界条件のもとで一貫性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 自発的対称性の破れを示すp形式対称性の理論におけるゴールドストーンの定理の高次形式は何か？
• RQ2 ゲージ固定と境界条件は、高次対称性の破れを伴うp形式ゲージ理論の物理的解釈にどのように影響を与えるか？
• RQ3 D次元時空において、連続的p形式対称性が自発的対称性の破れを起こせる条件は何か？
• RQ4 高次対称性の破れの状態において、保存p+1形式電流と電荷演算子はどのように構成されるか？
• RQ5 アーベルゲージ理論における高次形式対称性と漸近的対称性の関係は何か？

主な発見

• ゴールドストーンの定理の高次形式が確立され、自発的対称性の破れに関連する質量ゼロのモードの存在が示唆される。
• 論文は、D次元時空においてp ≥ D−2 ならば連続的p形式対称性は自発的対称性の破れを起こせないことを証明しており、コールメン-メルミン=ワーグナーの定理を一般化している。
• グローバルp形式対称性はp次コホモロジー群H^p(X)によって分類され、A ↦ A + λ（λは閉形式）という変換として特徴づけられる。
• 保存p+1形式電流Jはd†J = 0 を満たし、その電荷は余次元-pの部分多様体M_{D−p} 上での積分Q(M_{D−p}) = ∫_{M_{D−p}} ⋆J により計算される。
• ポアンカレ双対性により電荷演算子に幾何的解釈が与えられ、部分多様体の交差数と関連づけられる。
• 解析により、高次形式対称性はゲージ場に作用するが、非局所的ホロノミーのシフトを示すため、局所的対称性ではないことが示された。