[論文レビュー] Higher fundamental functors for simplicial sets

Marco Grandis|ArXiv.org|Sep 1, 2000

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 21被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、対称単体集合のトポスにホモトピー論を拡張することで、単体集合に対する高次基本函手を導入する。ここで基本群作用素は対称ナーヴ関手の左随伴となり、すべての余極限を保存する。これは、Seifert–van Kampenの定理の強力で余極限を保存するバージョンを提供する。この枠組みは高次元へ一般化され、高次基本nカテゴリーおよびωカテゴリーに対応する左随伴函手が確立される。方向付き単体設定においても同様の結果が得られる。

ABSTRACT

This is a sequel to a previous paper, developing an intrinsic, combinatorial homotopy theory for simplicial complexes; the latter form the cartesian closed subcategory of 'simple presheaves' in !Smp, the topos of symmetric simplicial sets, or presheaves on the category of finite, positive cardinals. We show here how this homotopy theory can be extended to the topos itself, !Smp. As a crucial advantage, the fundamental groupoid functor !Smp --> Gpd is left adjoint to a natural functor Gpd --> !Smp, the symmetric nerve of a groupoid, and preserves all colimits - a strong van Kampen property. Similar results hold in all higher dimensions. Analogously, a notion of (non-reversible) directed homotopy can be developed in the ordinary simplicial topos Smp, with applications to image analysis as in the previous paper. We have now a 'homotopy n-category functor' Smp --> n-Cat, left adjoint to a nerve functor. This construction can be applied to various presheaf categories; the basic requirements seem to be: finite products of representables are finitely presentable and there is a representable 'standard interval'.

研究の動機と目的

• 対称単体集合のトポスにおいて、Seifert–van Kampenの定理の強力で余極限を保存するバージョンを支持する組合せ的ホモトピー論を構築すること。
• 基本群作用素の構成を高次元に拡張し、高次基本n群作用素およびω群作用素をナーヴ関手の左随伴として定義すること。
• 標準的な単体集合のトポスにおける方向付きホモトピー論を導入し、方向付き整数直線を用いて基本カテゴリー函手を通常のナーヴ関手の左随伴として定義すること。
• 代表的関手の有限積と標準的区間に基づいて、プレシェーブ圏における組合せ的ホモトピー論が構成可能な条件を確立すること。
• 高次基本ωカテゴリー函手がStreetのωナーヴ関手と一致するかどうか、およびオリエンタルが標準的単体の基本nカテゴリーとして現れるかどうかを検討すること。

提案手法

• 環境として対称単体集合のトポス (!Smp) を用い、基本群作用素 Π₁ が対称ナーヴ関手 M₁ の左随伴であることを示す。
• プレシェーブ関手の自己関手に対するリフト技術を適用し、高次基本函手の計算を下位の集合値関手に還元する。
• 対称ケースでは組合せ的整数直線 Z、方向付きケースでは ↑Z をパrameterとするホモトピーを定義し、連続性または連接関係を用いる。
• 経路対象のフィルター付き余極限を用いて、高次基本nカテゴリー函手 ↑Πₙ を制限ナーヴ関手 Nₙ の左随伴として構成する。
• 代表的プレシェーブ関手の有限積が代表的プレシェーブ関手の有限余極限である（条件A）こと、標準的区間 [1] が可換かつ対合的立方体モノイドを誘導する（条件B）ことの両立を確立し、ホモトピー構成を可能にする。
• 条件(A)および(B)を満たすプレシェーブトポスにおける組合せ的ホモトピー理論の一般枠組みを提案し、単体的、立方体的、球体的サイトに適用可能である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 対称単体集合の基本群作用素が対称ナーヴ関手の左随伴として実現可能であり、すべての余極限を保存し、強力なvan Kampenの定理を導くことができるか？
• RQ2 対称単体集合における高次基本n群作用素もまた、ナーヴ関手の左随伴として得られるか。その代数的構造は何か？
• RQ3 通常の単体集合の方向付き設定において、基本カテゴリー函手 ↑Π₁ は余極限を保存し、通常のナーヴ関手 N₁ の左随伴として成立するか？
• RQ4 単体集合上の高次基本ωカテゴリー函手 ↑Πω がStreetのωナーヴ関手と同型であり、標準的n単体 ∆[n] をオリエンタル On に写像するか。
• RQ5 どのような一般的条件が、余極限を保存する基本函手を備えた組合せ的ホモトピー論を構成可能にするか？

主な発見

• 対称単体集合における基本群作用素函手 Π₁ は対称ナーヴ関手 M₁ の左随伴であり、したがってすべての余極限を保存する。これにより、Seifert–van Kampenの定理の強力で単純なバージョンが得られる。
• !Smpにおける高次基本n群作用素はナーヴ関手の左随伴として構成され、貼り合わせ定理 (3.9) によりその存在と余極限保存性が保証される。
• Smpにおける方向付きトポスでは、基本カテゴリー函手 ↑Π₁ は通常のナーヴ関手 N₁ の左随伴であり、すべての余極限を保存する。これは古典的なvan Kampen結果の一般化である。
• Smpにおける高次基本nカテゴリー函手 ↑Πₙ は制限ナーヴ関手 Nₙ の左随伴であり、↑Πₙ はすべての余極限を保存する。これは強いホモトピー的性質を示唆する。
• 本稿では ↑Πω(∆[n]) がStreetのオリエンタル On と一致する可能性を示唆しており、ωナーヴ関手 Nω がStreetのωナーヴ関手と同値である可能性も示唆されているが、これは未解決の問題である。
• 条件(A)および(B)――代表的関手の有限積、および可換かつ対合的構造を持つ標準的区間の存在――は、プレシェーブトポスにおける組合せ的ホモトピー論を構築する一般枠組みを形成する。