[論文レビュー] Higher Gauge Theory and M-Theory

Sam Palmer|arXiv (Cornell University)|Jul 1, 2014

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 2被引用数 4

ひとこと要約

本学位論文は、M理論における複数のM5-braneおよび自己双対ストリングの力学を扱うために、$L_\infty$-代数や3代数を含むカテゴリファイドゲージ構造を用いた、より高いゲージ理論の枠組みを構築する。この研究では、Basu-Harvey方程式の解を自己双対ストリングの解へ写像するループ空間Nahm型構成を確立し、$\nabla=(1,0)$ スーパーローレンツモデルと半厳密$ L_\infty $-代数との間の構造的関係を特定することで、$(2,0)$理論のより深い代数的基盤を示唆する。

ABSTRACT

In this thesis, the emerging field of higher gauge theory will be discussed, particularly in relation to problems arising in M-theory, such as selfdual strings and the so-called (2,0) theory. This thesis will begin with a Nahm-like construction for selfdual strings using loop space, the space of loops on spacetime. This construction maps solutions of the Basu-Harvey equation, the BPS equation arising in the description of multiple M2-branes, to solutions of a selfdual string equation on loop space. Furthermore, all ingredients of the construction reduce to those of the ordinary Nahm construction when compactified on a circle with all loops restricted to those wrapping the circle. The rest of this thesis, however, will not involve loop space. We will see a Nahm-like construction for the case of infinitely many selfdual strings, suspended between two M5-branes. This is possible since the limit taken renders the fields describing the M5-branes abelian. This avoids the problem which the rest of this thesis focuses on: What fields describe multiple M5-branes? The answer is likely to involve higher gauge theory, a categorification of gauge theory which describes the parallel transport of extended objects. Any theories which involves 3-algebras, including current M2-brane models and the Lambert-Papageorgakis M5-brane model, are examples of higher gauge theories. Recently, a class of models with N=(1,0) supersymmetry have been found, with significant overlap with algebraic structures in higher gauge theory. This overlap suggests that the full N=(2,0) theory could involve semistrict $L_\infty$-algebras. Finally, we will see some explicit selfdual string solutions, which may fit into these frameworks.

研究の動機と目的

• M理論における$(2,0)$スーパーローレンツ場理論の背後にある代数的・幾何的構造を理解すること。
• 既知のラグランジュ記述がない複数のM5-braneの理論を定式化する課題に取り組むこと。
• より高いゲージ理論、3代数、自己双対ストリングおよびM2-braneを記述するBPS方程式との関係を確立すること。
• 強ホモトピーLie代数およびCourant-Dorfman代数が$(1,0)$スーパーローレンツモデルにおいて果たす役割を調査すること。
• 明示的な自己双対ストリング解を構築し、それらをより高いゲージ理論の枠組みと関連付けること。

提案手法

• ループ空間上でのBasu-Harvey方程式（複数のM2-braneを記述）の解を、自己双対ストリング解へ写像するループ空間構成を用いる。
• 微分クローズドモジュールおよび2次クローズドモジュールを用いたNahm型還元を適用し、3代数からより高いゲージ理論を導出する。
• Nahm変換およびその逆変換を用いて、磁気ドメインおよびファジー・ファンネルを高次元におけるBPS配置と関連付ける。
• 一般化されたCourant-Dorfman代数および弱いLie 3代数を用いて、$(1,0)$モデルのスネルピートィ代数および場の運動方程式を導出する。
• 高次カテゴリカルゲージ理論を用いて、M5-braneモデルにおけるテンソル多重スレッドおよびゲージ場の構造を分析する。
• ヘルミート3代数を用いて$A_4$型自己双対ストリングの明示的解を構築し、その位相的電荷を評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複数のM2-braneを記述するBasu-Harvey方程式は、どのようにループ空間上での自己双対ストリング方程式へ上昇させることができるか？
• RQ2 $L_\infty$-代数は、$(2,0)$理論の実現および$(1,0)$スーパーローレンツモデルとの関係において、どのような役割を果たすか？
• RQ3 半厳密Lie 3代数を用いたより高いゲージ理論によって、複数のM5-braneの力学を記述することは可能か？
• RQ4 Nahm変換を介して、高次元におけるBPS方程式から磁気ドメインおよびファジー・ファンネルはどのようにして生じるか？
• RQ5 $(1,0)$スーパーローレンツモデルの背後にある代数的構造は何か？ そして、Courant-Dorfman代数および強ホモトピーLie代数とどのように関連するか？

主な発見

• ループ空間構成により、Basu-Harvey方程式の解が自己双対ストリング解へ写像され、円環コンパクト化の下で標準的Nahm構成が回復される。
• ループ空間上での自己双対ストリング理論は、1形式上のポアソン型構造およびナンブ・ポアソン構造を用いて定式化され、Basu-Harvey方程式が一般化される。
• $(1,0)$スーパーローレンツモデルは、弱いCourant-Dorfman代数および半厳密$ L_\infty $-代数と強く重なり合い、より深いカテゴリカル構造を示唆する。
• ヘルミート3代数を用いて$A_4$型自己双対ストリングの明示的解が構築され、非自明な位相的電荷が計算された。
• M5-braneモデルのスネルピートィ代数はオンシェルで閉じており、2つのスネルピートィ変換の交換子が、平行移動とゲージ変換を生成する。これは理論のゲージ不変性と整合的である。
• フェイク曲率条件はスネルピートィ変換のもとで保存され、場の強度変換が消えるかゲージ変換として現れるため、より高いゲージ理論の制約と整合的であることが示された。