[論文レビュー] Higher genus quasimap wall-crossing for semi-positive targets

Ionuţ Ciocan-Fontanine, Bumsig Kim|arXiv (Cornell University)|Aug 29, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 14被引用数 20

ひとこと要約

本稿は、半正のGIT商の準マップ不変量について、高(genus)の壁越え公式を確立し、 genus-0 の結果を高(genus)に拡張する。Gromov-Witten と準マップの生成関数の間の予想された関係を $J$-関数およびその $1/z$-展開を用いて証明し、半正のトーリック多様体および局所Calabi-Yauの被覆対象について、局所化および $T$-可換的技法を用いて完全な証明を与える。

ABSTRACT

In previous work (arXiv:1304.7056) we have conjectured wall-crossing formulas for genus zero quasimap invariants of GIT quotients and proved them via localization in many cases. We extend these formulas to higher genus when the target is semi-positive, and prove them for semi-positive toric varieties, in particular for toric local Calabi-Yau targets. The proof also applies to local Calabi-Yau's associated to some non-abelian quotients.

研究の動機と目的

• 半正のGIT商の文脈において、 genus-0 の準マップの壁越え公式を高(genus)に拡張すること。
• 高(genus)不変量について、Gromov-Witten と準マップの生成関数を関連付ける予想された壁越え公式を証明すること。
• 局所化および $T$-可換的手法を用いて、半正のトーリック多様体および局所Calabi-Yauの被覆対象についてその公式を確立すること。
• 壁越え変換が小 $J$-関数の $1/z$-展開によって支配されることを確認すること。

提案手法

• 準マップとGromov-Witten不変量を関連付けるために、$J$-関数 $J^\varepsilon(q,t,z)$ 及びその小バージョン $J^\varepsilon_{sm}(q,z)$ を用いる。
• $J$-関数の小関数における $1/z$-展開：$J^\varepsilon_{sm}(q,z) = J^\varepsilon_0(q)\mathbbm{1} + J^\varepsilon_1(q)/z + O(1/z^2)$ を採用する。
• $\varepsilon$-安定な準マップのモジュライ空間に局所化技法を適用し、頂点寄与を計算し、$J$-関数を一致させる。
• $\varepsilon \to 0^+$ の極限として小 $I$-関数 $I_{sm}(q,z)$ を用い、半正性の下では $I_0 = 1$ となる。
• 被覆対象の $T$-可換的構造を用いて、固定点が孤立しており、1次元の軌道を持つことを保証し、正確な頂点計算を可能にする。
• 変換された生成関数 $F^\varepsilon_g$ が $J$-関数の係数を介してGromov-Witten生成関数 $F^\infty_g$ と一致することを示すことにより、壁越え公式を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 半正の対象において、壁越えの下で高(genus)の準マップ不変量とGromov-Witten不変量の関係はどのように規定されるか？
• RQ2 以前に局所化を用いて証明された genus-0 の壁越え公式は、高(genus)に拡張可能か？
• RQ3 半正のGIT商の文脈において、高(genus)における準マップとGromov-Witten生成関数の間の正確な変換則は何か？
• RQ4 高(genus)において、$J$-関数の $1/z$-展開が壁越え変換を支配するか？
• RQ5 安定パrameter $\varepsilon$ 全体にわたって、壁越え公式が一様に成り立つ条件は何か？

主な発見

• 半正の場合、すべての $\varepsilon \geq 0^+$ に対して壁越え公式 $ (J^\varepsilon_0)^{2g-2} F^\varepsilon_g(\mathbf{t}) = F^\infty_g\left( \frac{\mathbf{t} + J^\varepsilon_1}{J^\varepsilon_0} \right) $ が成り立つ。
• この公式は、半正のトーリック多様体および局所Calabi-Yauの被覆対象について、局所化および $T$-可換的技法を用いて証明されている。
• $g=1$ の場合、$\overline{M}_{1,1}$ 上での希釈方程式の不成立のため、補正項 $\frac{1}{24}\chi_{\text{top}}(X)\log J^\varepsilon_0$ が必要となる。
• 半正の三重対について、小 $I$-関数は $I_0 = 1$ を満たし、これにより壁越え変換が簡略化される。
• 壁越え公式は変換 $\mathbf{t}(\psi) \mapsto J^\varepsilon_0 \mathbf{t}(\psi) - J^\varepsilon_1$ に関して不変であり、異なる $\varepsilon$ の間で一貫性が保たれる。
• 局所グラスマン多様体およびフラッグ多様体に対しても結果が拡張可能であり、$I$-関数が明示的に計算可能であり、一様な頂点寄与のため壁越え公式が成り立つ。