[論文レビュー] Higher genus relative and orbifold Gromov-Witten invariants of curves

Hsian‐Hua Tseng, Fenglong You|arXiv (Cornell University)|Apr 26, 2018

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 21被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、十分に大きな $ r $ に対して、$ r $ 乗根スタック上のオルビフォールド不変量の $ r^0 $-係数が相対不変量に等しいことにより、滑らかな曲線の高(genus)相対およびオルビフォールド・グロモフ＝ウィッテン不変量の間の正確な対応関係を確立する。この研究は、アブラモビッチ＝カドマン＝ワイズの結果を高(genus)に一般化し、両理論における定常不変量の等価性を証明することで、新たな証明法と定常オルビフォールド不変量に対する GW/H 対応関係の構築を可能にする。

ABSTRACT

Given a smooth target curve $X$, we explore the relationship between Gromov-Witten invariants of $X$ relative to a smooth divisor and orbifold Gromov-Witten invariants of the $r$-th root stack along the divisor. We proved that relative invariants are equal to the $r^0$-coefficient of the corresponding orbifold Gromov-Witten invariants of $r$-th root stack for $r$ sufficiently large. Our result provides a precise relation between relative and orbifold invariants of target curves generalizing the result of Abramovich-Cadman-Wise to higher genus invariants of curves. Moreover, when $r$ is sufficiently large, we proved that relative stationary invariants of $X$ are equal to the orbifold stationary invariants in all genera. Our results lead to some interesting applications: a new proof of genus zero equality between relative and orbifold invariants of $X$ via localization; a new proof of the formula of Johnson-Pandharipande-Tseng for double Hurwitz numbers; a version of GW/H correspondence for stationary orbifold invariants.

研究の動機と目的

• 滑らかな曲線の高(genus)不変量に対して、アブラモビッチ＝カドマン＝ワイズの相対的およびオルビフォールド不変量の対応関係を一般化すること。
• 十分に大きな $ r $ に対して、滑らかな曲線 $ X $ の相対的定常不変量が、すべての genus において $ r $ 乗根スタック上のオルビフォールド定常不変量に等しいことを確立すること。
• 局所化と新しい対応関係を用いて、既知の公式（ジョンソン＝パンダリパンドー＝ツェンの二重ヒューリッツ数の公式など）の新たな証明を提供すること。
• 曲線上の定常オルビフォールド不変量に対する GW/H 対応関係のバージョンを構築すること。

提案手法

• 滑らかな曲線 $ X $ 上の滑らかな除集合に沿って $ r $ 乗根スタックを構成し、代数的スタックを用いてオルビフォールド構造をモデル化する。
• $ r $ に関する母関数を用いて、$ r $ 乗根スタックのオルビフォールド不変量と $ X $ の相対不変量を関連付け、特に $ r^0 $-係数に注目する。
• 特に genus 0 において、$ r $ 乗根スタックへの安定写像のモジュライ空間に局所化技術を適用し、相対不変量とオルビフォールド不変量の等価性を証明する。
• $ r $ 乗根スタックの構造を活用して、$ r \to \infty $ のとき定常不変量が安定化し、同じ値に収束することを示し、これにより相対不変量と等価であることを示す。
• $ r^0 $-係数の抽出を、オルビフォールド不変量から相対不変量を回復するための鍵的メカニズムとして用いる。
• 対応関係を応用して、二重ヒューリッツ数のジョンソン＝パンダリパンドー＝ツェンの公式など、既存の結果の新たな証明を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 十分に大きな $ r $ に対して、滑らかな曲線 $ X $ の相対的グロモフ＝ウィッテン不変量は、除集合に沿った $ r $ 乗根スタック上のオルビフォールド不変量とどのように関係するか？
• RQ2 $ r \to \infty $ のとき、$ r $ 乗根スタック上のオルビフォールド不変量の $ r^0 $-係数として、$ X $ の定常相対不変量を回復できるか？
• RQ3 相対的およびオルビフォールド不変量の対応関係は、genus 0 を超える高(genus)不変量に対しても拡張可能か？
• RQ4 この構成を用いて、曲線上の定常オルビフォールド不変量に対する GW/H 対応関係を適応可能か？
• RQ5 局所化を用いて、このフレームワークを用いて、既知の公式（例えば、ジョンソン＝パンダリパンドー＝ツェンの二重ヒューリッツ数の公式）を再証明できるか？

主な発見

• 十分に大きな $ r $ に対して、滑らかな曲線 $ X $ の相対的グロモフ＝ウィッテン不変量は、滑らかな除集合に沿った $ r $ 乗根スタック上の対応するオルビフォールド不変量の $ r^0 $-係数に等しい。
• 十分に大きな $ r $ に対して、$ X $ のすべての genus における相対的定常不変量は、$ r $ 乗根スタック上のオルビフォールド定常不変量と一致する。
• $ r $ 乗根スタックの構成に局所化技術を適用することで、相対的およびオルビフォールド不変量の genus 0 における等価性の新たな証明が得られる。
• ジョンソン＝パンダリパンドー＝ツェンの二重ヒューリッツ数の公式は、相対的およびオルビフォールド不変量の対応関係を用いて再証明された。
• 曲線上の定常オルビフォールド不変量に対する GW/H 対応関係のバージョンが確立され、既知の対応関係がこの設定に拡張された。