[論文レビュー] Higher Green's functions for modular forms

Anton Mellit|ArXiv.org|Apr 20, 2008

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 7被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、モジュラー形式の高次グリーン関数と楕円曲線のべき乗上の高次チャウ群の間の関係を確立し、CM点におけるグリーン関数の値が代数的数の対数の代数的倍数であることを証明する。$Γ = \mathrm{PSL}_2(\mathbb{Z})$, $k=2$, および一つの引数が$ι$である場合、これらの値を計算する交差数をもつ明示的な高次サイクルを構成し、アーベル・ジャコビ写像とコhomological技法を用いて、この場合における代数的性の予想を確認する。

ABSTRACT

Higher Green functions are real-valued functions of two variables on the upper half plane which are bi-invariant under the action of a congruence subgroup, have logarithmic singularity along the diagonal, but instead of the usual equation $Δf=0$ we have equation $Δf = k(1-k) f$. Here $k$ is a positive integer. Properties of these functions are related to the space of modular forms of weight $2k$. In the case when there are no cusp forms of weight $2k$ it was conjectured that the values of the Green function at points of complex multiplication are algebraic multiples of logarithms of algebraic numbers. We show that this conjecture can be proved in any particular case if one constructs a family of elements of certain higher Chow groups on the power of a family of elliptic curves. These families have to satisfy certain properties. A different family of elements of Higher Chow groups is needed for a different point of complex multiplication. We give an example of such families, thereby proving the conjecture for the case when the group is $PSL_2(\mathbf Z)$, $k=2$ and one of the arguments is $\sqrt{-1}$.

研究の動機と目的

• 高次グリーン関数がCM点で評価されたとき、重み$2k$の尖点形式が存在しない場合、その値が代数的数の対数の代数的倍数であるという予想を証明すること。
• 高次グリーン関数と楕円曲線のべき乗上の高次チャウ群との間の一般枠組みを確立すること。
• 交差理論とアーベル・ジャコビ写像を用いて、グリーン関数の値を計算する$E^{2k-2}$上の高次サイクルの明示的族を構成すること。
• $\Gamma = \mathrm{PSL}_2(\mathbb{Z})$, $k=2$, $\tau_2 = \mathrm{i}$ の特定の場合において、関連する交差数を計算することにより、この予想を確認すること。
• $\left(\frac{-1 + \sqrt{-7}}{2}, \mathrm{i}\right)$ におけるグリーン関数の値が $\frac{8}{\sqrt{7}}\log(8 - 3\sqrt{7})$ に等しいことを示し、代数的性を確認すること。

提案手法

• 楕円曲線$E$をパラメータとする族$\{E_s\}_{s \in S}$に対して、codimension $k-1$ の部分多様体と、除因子の和が自明である有理関数を用いて、$CH^k(E^{2k-2}, 1)$ 内の高次サイクルを構成する。
• これらのサイクルにアーベル・ジャコビ写像$AJ^{k,1}$を適用し、$F^k$ と $2\pi i H^{2k-2}(E^{2k-2}, \mathbb{Z})$ を含む複素コhomology群の商へ写像する。
• Canonical cohomology class $[\theta] \in H^2(E^2, \mathbb{C})$ を、$\frac{\omega \otimes \bar\omega + \bar\omega \otimes \omega}{\int_E \omega \wedge \bar\omega}$ で表されるものとして定義し、ペアリングを定義する。
• ペアリングの実部 $\Re\left(\mathrm{i}^{k-1}(AJ^{k,1}[x], [\theta]^{k-1})\right)$ を評価し、グリーン関数の値に対応する実数を抽出する。
• $k=2$ の場合、曲線$W$とヘーゲナー・サイクルの変形$\Gamma_\phi$の交差を用いて、$E^2$ 上の特定の高次サイクルの族を構成し、交差数を明示的に計算する。
• 代数的幾何的手法を用い、特に$\mathbb{Q}(\mu, \mathrm{i})$ におけるノルム計算（$\mu = \sqrt{7}$）を用いて、交点における関数値の積を評価し、ローラン展開を用いて無限遠点の寄与を含める。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高次グリーン関数のCM点における代数的性予想は、高次チャウサイクルとアーベル・ジャコビ写像を用いて証明可能か？
• RQ2 $\Gamma = \mathrm{PSL}_2(\mathbb{Z})$, $k=2$, および $\tau_2 = \mathrm{i}$ の場合、$G_2^{\mathfrak{H}/\Gamma}(\tau_1, \mathrm{i})$ の値は代数的数の対数の代数的倍数か？
• RQ3 $CH^2(E_s^2, 1)$ 内に、アーベル・ジャコビ像がCM点$\tau_1$におけるグリーン関数の値を計算するような高次サイクルの族が存在するか？
• RQ4 $\tau_1 = \frac{-1 + \sqrt{-7}}{2}$ のとき、$G_2^{\mathfrak{H}/\Gamma}(\tau_1, \mathrm{i}) = (D_1 D_2)^{-(1/2)} \log \alpha$ を満たす正確な代数的数$\alpha$ は何か？
• RQ5 代数的幾何とコhomologicalペアリングを用いて、高次サイクルとヘーゲナー・サイクルの交差数を明示的に計算する方法は何か？

主な発見

• 代数的性の予想は、$\Gamma = \mathrm{PSL}_2(\mathbb{Z})$, $k=2$, $\tau_2 = \mathrm{i}$ の場合、$E^2$ 上の高次サイクルの族を構成し、その交差数がグリーン関数の値を計算することにより証明された。
• $\left(\frac{-1 + \sqrt{-7}}{2}, \mathrm{i}\right)$ におけるグリーン関数の値は $G_2^{\mathfrak{H}/\Gamma}\left(\frac{-1 + \sqrt{-7}}{2}, \mathrm{i}\right) = \frac{8}{\sqrt{7}}\log(8 - 3\sqrt{7})$ に等しく、代数的性が確認された。
• 高次サイクルとヘーゲナー・サイクル$Z_\tau$ の交差数は$u^8$ に等しい。ここで$u = -1 + \sqrt{7} - 2\mathrm{i} - \mathrm{i}\sqrt{7}$ は$\mathbb{Z}[\sqrt{7}, \mathrm{i}]$ 内の単数である。
• 計算には4つの有限交点と1つの無限遠点の寄与が含まれており、後者は$-2b u^3$ の因子を寄与させる。ここで$b$ は定数である。
• $\mathbb{Q}(\mu, \mathrm{i})$ 上のノルム計算により、ノルムの積は$14^4 u$ に等しく、無限遠点の寄与を加えると、合計の交差数は$14^6 u^4$ に等しくなる。調整後、$u^8$ に簡約される。
• $N_A = 1$ および $N_B = 2$ が、放物型コhomology群とコホモロジー群に対して計算され、$N = 2$ が得られた。この$N$ は、グリーン関数の最終的な正規化に用いられる。