[論文レビュー] Higher jet prolongation Lie algebras and Backlund transformations for (1+1)-dimensional PDEs

С.А. Игонин|arXiv (Cornell University)|Dec 10, 2012

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 22被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、(1+1)次元の発展型偏微分方程式に対して、任意のジャンクティオーダーに一般化された Wahlquist-Estabrook 代数への高次ジャンクチプロロングレーションリー代数 $\bbF^p(\fE,a)$ を導入する。任意のゼロ曲率表現が、局所的に $\bbF^p(\fE,a)$ のベクトル場表現から生じるゲージ同値であることを確立し、射影 $\bbF^p(\fE,a) \to \bbF^{p-1}(\fE,a)$ の核が中心に含まれることを示し、これにより射影の鎖における核が冪零であることを示す。この結果は、偏微分方程式間の Bäcklund 変換が成立するための必要条件を提供する。

ABSTRACT

For any (1+1)-dimensional (multicomponent) evolution PDE, we define a sequence of Lie algebras $F^p$, $p=0,1,2,3,...$, which are responsible for all Lax pairs and zero-curvature representations (ZCRs) of this PDE. In our construction, jets of arbitrary order are allowed. In the case of lower order jets, the algebras $F^p$ generalize Wahlquist-Estabrook prolongation algebras. To achieve this, we find a normal form for (nonlinear) ZCRs with respect to the action of the group of gauge transformations. One shows that any ZCR is locally gauge equivalent to the ZCR arising from a vector field representation of the algebra $F^p$, where $p$ is the order of jets involved in the $x$-part of the ZCR. More precisely, we define a Lie algebra $F^p$ for each nonnegative integer $p$ and each point $a$ of the infinite prolongation $E$ of the evolution PDE. So the full notation for the algebra is $F^p(E,a)$. Using these algebras, one obtains a necessary condition for two given evolution PDEs to be connected by a Backlund transformation. In this paper, the algebras $F^p(E,a)$ are computed for some PDEs of KdV type. In a different paper with G. Manno, we compute $F^p(E,a)$ for multicomponent Landau-Lifshitz systems of Golubchik and Sokolov. Among the obtained Lie algebras, one encounters infinite-dimensional algebras of certain matrix-valued functions on some algebraic curves. Besides, some solvable ideals and semisimple Lie algebras appear in the description of $F^p(E,a)$. Applications to classification of KdV and Krichever-Novikov type equations with respect to Backlund transformations are also briefly discussed.

研究の動機と目的

• $(1+1)$次元の発展型偏微分方程式に対して、Wahlquist-Estabrook の延長法を任意のジャンクティオーダーに一般化すること。
• 偏微分方程式の無限延長 $\fE$ の各点 $a$ において、すべてのラクス対およびゼロ曲率表現（ZCR）を、$p$ 階までの順序で捉えるリー代数 $\bbF^p(\fE,a)$ の系列を定義すること。
• 任意の ZCR が、$\bbF^p(\fE,a)$ の表現と局所的にゲージ同値であることを示し、ZCR の標準形を提供すること。
• $\bbF^p(\fE,a)$ の構造的性質を確立すること。特に、射影 $\bbF^p(\fE,a) \to \bbF^{p-1}(\fE,a)$ の核が $\bbF^p(\fE,a)$ の中心に含まれることを示すこと。
• KdV 型および Krichever-Novikov 型方程式が Bäcklund 変換に関してどのように分類できるか、この枠組みを応用すること。

提案手法

• $(1+1)$次元の発展型偏微分方程式の無限延長 $\fE$ の各非負整数 $p$ および各点 $a$ に対して、リー代数 $\bbF^p(\fE,a)$ を定義する。
• ゲージ変換を用いて任意の ZCR を正規形に還元し、すべての ZCR が $\bbF^p(\fE,a)$ のベクトル場表現から生じる局所的ゲージ同値であることを示す。
• 写像 $\bbF^p(\fE,a) \to \bbF^{p-1}(\fE,a)$ の同型を構成し、その核を解析し、$\text{ker}(\bbF^p(\fE,a) \to \bbF^{p-1}(\fE,a))$ が $\bbF^p(\fE,a)$ の中心に含まれることを証明する。
• 帰納法を用いて、合成写像 $\bbF^k(\fE,a) \to \bbF^0(\fE,a)$ の核が冪零であることを証明し、これには連続する核の中心性が関与する。
• KdV 型方程式および多成分 Landau-Lifshitz システムに対して $\bbF^p(\fE,a)$ を計算し、代数的曲線上の行列値関数からなる無限次元部分代数、可解イデアル、および半単純部分代数の存在を明らかにする。
• この枠組みを用いて、2つの発展型偏微分方程式が Bäcklund 変換によって結ばれるための必要条件を導出し、それらの $\bbF^p(\fE,a)$ 代数の比較を通じて得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにすれば、ジャンクチプロロングレーションを用いて、$(1+1)$次元の発展型偏微分方程式のすべてのゼロ曲率表現（ZCR）を、非線形なものも含めて体系的に分類できるか？
• RQ2 ゲージ変換は ZCR の正規化において果たす役割は何か？ そして、ZCR の標準形を定義するためにどのように利用できるか？
• RQ3 $\bbF^p(\fE,a)$ というリー代数は、2つの発展型偏微分方程式間の Bäcklund 変換の存在とどのように関係するか？
• RQ4 KdV 型方程式などの特定の偏微分方程式に対して、$\bbF^p(\fE,a)$ に現れる構造的性質（中心性、冪零性、半単純性など）は何か？
• RQ5 異なるジャンクティオーダーにわたる一元的な枠組みとして、$\bbF^p(\fE,a)$ は、ラクス対や ZCR といった可積分性構造をどのように特定できるか？

主な発見

• 任意の $(1+1)$次元の発展型偏微分方程式のゼロ曲率表現は、$x$ 成分の ZCR のジャンクティオーダーを $p$ とすると、局所的にリー代数 $\bbF^p(\fE,a)$ の表現とゲージ同値である。
• 射影 $\bbF^p(\fE,a) \to \bbF^{p-1}(\fE,a)$ の核は、$\bbF^p(\fE,a)$ の中心に含まれる。これは、Wahlquist-Estabrook 法の先行研究を一般化する構造的結果である。
• 合成写像 $\bbF^k(\fE,a) \to \bbF^0(\fE,a)$ の核は冪零であり、これは連続する核の中心性と関連し、ZCR に強い代数的制約をもたらす。
• KdV 型方程式に対しては、$\bbF^p(\fE,a)$ に代数的曲線上の行列値関数からなる無限次元部分代数が含まれており、深い幾何的構造を示唆する。
• 多成分 Landau-Lifshitz システムの $\bbF^p(\fE,a)$ には、可解イデアルと半単純リー代数が共に含まれており、これらの系の可積分性階層を反映している。
• この枠組みにより、2つの発展型偏微分方程式が Bäcklund 変換によって結ばれるための必要条件が得られる：それらの $\bbF^p(\fE,a)$ 代数は、射影の鎖と核の条件に関して整合性を示さなければならない。