[論文レビュー] Higher l^2-Betti numbers of universal quantum groups

Julien Bichon, David Kyed+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 22, 2016

Advanced Operator Algebra Research参考文献 35被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、$n \geq 2$ に対してすべての $\beta^{(2)}_p(\hat{U}_n^+)$ および $\beta^{(2)}_p(\hat{U}_n^*)$ を計算し、普遍的および半分解型ユニタリ量子群が、すべての次数で $\ell^2$-ベッチ数が 1 であることを示している。この計算は、$\ell^2$-ベッチ数の新しい自由積公式と、余中心拡大におけるスケーリング公式に依拠しており、[KR16]、[BNY15]、[BNY16] の結果を統合している。

ABSTRACT

We calculate all $\ell^2$-Betti numbers of the universal discrete Kac quantum groups $\hat U_n^+$ as well as their full half-liberated counterparts $\hat U_n^*$.

研究の動機と目的

• 自由ユニタリ量子群 $\hat{U}_n^+$ 及びその半分解型対応物 $\hat{U}_n^*$ の双対のすべての $\ell^2$-ベッチ数を計算すること。
• $\hat{U}_n^+$ の第二および第三の $\ell^2$-ベッチ数に関する未解決のオープンな問題を解き、$\hat{O}_n^+$ については既知の結果が得られているにもかかわらず、それらが未解決であったことに対処すること。
• 離散量子群の $\ell^2$-ベッチ数に関する新しい自由積公式を確立すること。
• $\hat{U}_n^+$ および $\hat{U}_n^*$ がポincare双対性を満たさないことを証明し、$\hat{O}_n^+$ の挙動とは対照的であることを示すこと。
• 古典的有限インデックススケーリングを量子群の文脈に拡張し、余中心拡大における $\ell^2$-ベッチ数のスケーリング性質を一般化すること。

提案手法

• 離散量子群の $\ell^2$-ベッチ数に関する新しい自由積公式を導出し、$p \geq 2$ の場合に $\beta_p^{(2)}(\hat{G} * \hat{H}) = \beta_p^{(2)}(\hat{G}) + \beta_p^{(2)}(\hat{H})$ が成り立つことを示す。$p=1$ および $p=0$ の場合の修正された公式も提示する。
• Kac型のコンパクト量子群の余中心拡大における $\ell^2$-ベッチ数のスケーリング公式を適用し、$\mathbb{C} \to \mathrm{Pol}(\mathbb{H}) \to \mathrm{Pol}(\mathbb{G}) \to \mathbb{C}\Gamma \to \mathbb{C}$ が完全列であり、$\Gamma$ が有限アーベル群であるとき、$\beta_p^{(2)}(\hat{H}) = |\Gamma| \cdot \beta_p^{(2)}(\hat{G})$ が成り立つことを示す。
• $\mathrm{U}_n^+$ と $\mathrm{O}_n^+ * \mathrm{O}_n^+$ を共通のコンパクト量子群 $\mathbb{H}$ を介して結ぶ完全列を用い、$\ell^2$-ベッチ数の計算を $\hat{O}_n^+$ に関する既知の結果に還元する。
• $\mathrm{U}_n^*$ と $\mathrm{O}_n^* * \mathrm{O}_n^*$ に対しても同様の枠組みを適用し、同じ $\mathbb{H}^*$ を用いて、半分解型の場合の $\ell^2$-ベッチ数を計算する。
• $\beta_p^{(2)}(\hat{O}_n^+) = 0$ がすべての $p \geq 0$ に対して成り立つこと（[Ver12] および [CHT09] で確立済み）を根拠とし、コアメービリティおよび双対性を用いて $\hat{O}_n^*$ に拡張する。
• 自由積公式とスケーリング公式を組み合わせることで、$\hat{U}_n^+$ および $\hat{U}_n^*$ の完全な $\ell^2$-ベッチ数列を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $n \geq 2$ およびすべての $p \geq 0$ に対して、$\ell^2$-ベッチ数 $\beta_p^{(2)}(\hat{U}_n^+)$ の値は何か？
• RQ2 $\hat{U}_n^+$ は、$\hat{O}_n^+$ のようにポincare双対性を満たすか？
• RQ3 半分解型ユニタリ量子群 $\hat{U}_n^*$ の $\ell^2$-ベッチ数の構造は何か？
• RQ4 離散量子群の文脈で、$\ell^2$-ベッチ数の自由積公式を確立できるか？
• RQ5 Kac型のコンパクト量子群の余中心拡大において、$\ell^2$-ベッチ数はどのようにスケーリングするか？

主な発見

• $\hat{U}_n^+$ の $\ell^2$-ベッチ数は、すべての $n \geq 2$ に対して $\beta_1^{(2)}(\hat{U}_n^+) = 1$ であり、$p \neq 1$ のすべての $p$ に対して $\beta_p^{(2)}(\hat{U}_n^+) = 0$ である。
• $\hat{U}_n^*$ の $\ell^2$-ベッチ数は、すべての $n \geq 2$ に対して $\beta_1^{(2)}(\hat{U}_n^*) = 1$ であり、$p \neq 1$ のすべての $p$ に対して $\beta_p^{(2)}(\hat{U}_n^*) = 0$ である。
• 離散量子群 $\hat{U}_n^+$ はポincare双対性を満たさない。なぜなら、$\ell^2$-ベッチ数が $p \mapsto 3-p$ に関して対称でないからである。
• 離散量子群の $\ell^2$-ベッチ数に関する新しい自由積公式が確立され、$p=0,1$ および $p \geq 2$ の明示的表現が得られた。
• 余中心拡大における $\ell^2$-ベッチ数のスケーリング公式が証明され、$\Gamma$ が有限アーベル群でかつ拡大が余中心であるとき、$\beta_p^{(2)}(\hat{H}) = |\Gamma| \cdot \beta_p^{(2)}(\hat{G})$ が成り立つことが示された。
• この結果により、$\beta_p^{(2)}(\hat{O}_n^*) = 0$ がすべての $p \geq 0$ に対して成り立つことが確認され、コアメービリティおよび双対性を用いて、$\hat{O}_n^+$ における $\ell^2$-ベッチ数の消滅性が $\hat{O}_n^*$ に拡張された。