[論文レビュー] Higher-level canonical subgroups for p-divisible groups

Joseph Rabinoff|arXiv (Cornell University)|Oct 17, 2009

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 21被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、混合特徴値 $(0,p)$ の完備なランク1の付値環上で $p$-可除群の高レベルの標準的部分群の存在を保証するハッセ不変量に関する普遍的上限を、トロピカル幾何とジンクのディスプレイ理論を用いて確立する。この上限は群の高さや次元に依存せず、楕円曲線に対する古典的結果を一般化し、過収束 $p$-進自己形式への応用を可能にする。

ABSTRACT

Let R be a complete rank-1 valuation ring of mixed characteristic (0,p), and let K be its field of fractions. A g-dimensional truncated Barsotti-Tate group G of level n over R is said to have a level-n canonical subgroup if there is a K-subgroup of G ensor_R K with geometric structure (\Z/p^n\Z)^g consisting of points "closest to zero". We give a nontrivial condition on the Hasse invariant of G that guarantees the existence of the canonical subgroup, analogous to a result of Katz and Lubin for elliptic curves. The bound is independent of the height and dimension of G.

研究の動機と目的

• 楕円曲線を超えて高次元のアーベル多様体および $p$-可除群へ標準的部分群の理論を拡張すること。
• 高さおよび次元に依存しない一様なハッセ不変量の上限を確立し、レベル-$n$ 標準的部分群の存在を保証すること。
• トロピカル代数幾何とジンクのディスプレイを用いて、幾何的かつ内在的な標準的部分群の構成法を提供すること。
• ヒルベルトおよびシーゲルモジュラー多様体上の過収束 $p$-進自己形式への将来的な応用を支援すること。

提案手法

• ジンクのディスプレイ理論を用いて、ベーシェヴィング写像の接空間上で明示的な計算を実行する。
• トロピカル代数幾何を応用し、$p$- torsion 点の構造と $p$-進位相において原点からの距離を分析する。
• ハッセ不変量を $ H(G) = \min\{ \operatorname{ord}(\mathrm{d}V)^\sim), 1 \} $ として定義する。ここで $ \mathrm{d}V $ はベーシェヴィング写像の接写像である。
• $ \rho $-部分群 $ G^\circ[p^n]_{\leq \rho} $ を、$ p $-進ノルムが $ \rho $ 以下である点の集合として定義し、$ K $-部分群をなす。
• ネーター近似および完成化技術に依拠して、残渣体から完備局所環への群スキームの持ち上げを実行する。
• ハッセ不変量の条件下で、$ \rho = p^{-\epsilon} $（十分に小さい $ \epsilon $）に対し、レベル-$n$ 標準的部分群を $ \rho $-部分群として構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 混合特徴値の付値環上の $ p $-可除群がレベル-$ n $ 標準的部分群をもつためのハッセ不変量の条件は何か？
• RQ2 すべての高さおよび次元の $ p $-可除群にわたって、標準的部分群の存在を一様に保証できるか？
• RQ3 トロピカル幾何とジンクのディスプレイをどのように組み合わせて、内在的かつ幾何的な標準的部分群の構成法を提供できるか？
• RQ4 群の構造に依存しない、標準的部分群の存在を保証する最適なハッセ不変量の上限は何か？
• RQ5 この構成法は、任意の還元型をもつアーベル多様体の族へ拡張可能か？

主な発見

• 本稿は、ハッセ不変量 $ H(G) > \frac{1}{2} $ ならば、混合特徴値 $(0,p)$ の完備なランク1の付値環上の任意の $ p $-可除群 $ G $ に対して、レベル-$ n $ 標準的部分群が存在することを証明している。
• 上限 $ H(G) > \frac{1}{2} $ は $ G $ の高さや次元に依存せず、すべての $ p $-可除群に普遍的に適用可能である。
• 標準的部分群は、$ \epsilon > 0 $ が十分に小さいときの $ \rho = p^{-\epsilon} $ を用いた $ \rho $-部分群 $ G^\circ[p^n]_{\leq \rho} $ として構成され、体の分数体 $ K $ 上に定義される。
• この構成法は幾何的かつ内在的であり、レベル構造や残渣体が完全であることの仮定を必要としない。
• シムーラ多様体や整数的構造に依存せず、キシン、ライ、ゴレン＝カッサイによる先行研究とは異なる。
• 本結果は、一般の PEL型シムーラ多様体上の過収束法を $ p $-進自己形式へ拡張する基盤を提供する。