[論文レビュー] Higher Newton polygons and integral bases

Jordi Guàrdia, Jesús Sanz Montes+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 19, 2009

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 23被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、モンテス法におけるφ-進展開の商を用いて、数体における𝔭-整基底を計算するより高速な手法を提示する。これらの商の𝔭-進付値を分析することで、局所的・全球的に𝔭-整である要素を構成し、O(n)回のA[θ]内乗算で済む、従来のOMベースおよび古典的手法よりも顕著に高速な方法を実現する。

ABSTRACT

Let $A$ be a Dedekind domain, $K$ the fraction field, $\p$ a non-zero prime ideal of $A$, and $K_\pp$ the completion of $K$ with respect to the $\p$-adic topology. At the input of a monic irreducible separable polynomial, $f(x)\in A[x]$, Montes algorithm determines the factorization of $f(x)$ over $K_\pp[x]$, and it provides essential arithmetic information about the finite extensions of $K_\pp$ determined by the different irreducible factors. In particular, it can be used to compute $\p$-integral bases of the extension of $K$ determined by $f(x)$ \cite{newapp}. In this paper we present new (and faster) methods to compute $\p$-integral bases, based on the use of the quotients of certain divisions with remainder of $f(x)$ that occur along the flow of Montes algorithm.

研究の動機と目的

• 分数体が全球体であるデデキンド環における𝔭-整基底を計算するより効率的なアルゴリズムの開発を目的とする。
• 大次数拡張において、古典的手法および初期のOMベース手法の計算非効率性を克服することを目的とする。
• モンテス法の過程で得られるφ-進展開の商を用いて、局所的𝔓-整ではなく、全球的𝔭-整基底を構成することを目的とする。
• 結果の基底が𝔭-削減されていることを保証すること。これは代数関数体やリーマン・ローチ空間計算への応用において不可欠である。
• A[θ]内での乗算回数がO(n)に抑えられることを示す複雑度解析を提供することにより、スケーラビリティを高める。

提案手法

• モンテス法におけるf(x)のφ-進展開から得られる商Q_i(x)を活用する。ここでf(x) = φ(x)Q_1(x) + a_0(x), Q_1(x) = φ(x)Q_2(x) + a_1(x), などと続く。
• 各𝔭に上る素イデアル𝔓に対して、Q_i(θ)の𝔓-進付値を分析し、Q_i(θ)/π^μが𝔭-整である最大のμを特定する（定理3.3）。
• 各L_𝔓/K_𝔓における局所的整基底を、このような商を適切なπのべきで割った積を用いて構成する。
• 設計上、すべての構成要素が全球的𝔭-整であることを保証する。これは、過去のOM手法が後処理を要するのとは対照的である。
• すべての素因数に対して得られた全球的𝔭-整要素を統合し、ヘルメート標準形を用いて完全な𝔭-整基底を構成する。
• 高次ノイザーポリゴンおよび残渣多項式の構造を用いて、φ多項式の選択と付値データの追跡を支援する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 モンテス法におけるφ-進展開の商は、整基底の構成に用いることができるか？
• RQ2 各既約因子に対してQ_i(θ)の𝔓-進付値は何か？ そして、これにより適切なπのべきを割るか？
• RQ3 得られる基底が常に𝔭-削減されていることをどのように保証できるか？ また、古典的手法および過去のOMベース手法と比較して、計算上の利点は何か？
• RQ4 このような基底を構成する際の複雑度は何か？ そして、nおよびδの関数として有界化可能か？
• RQ5 この手法は、特にリーマン・ローチ空間計算を目的とした関数体における削減基底の計算に応用可能か？

主な発見

• 本手法は、A[θ]内での乗算をたったO(n)回で行うことができ、古典的手法のO(n²)に比べ顕著に高速化される。
• 得られる基底は常に𝔭-削減されている。これは代数関数体や除数類群計算への応用において極めて重要である。
• すべての基底要素が全球的𝔭-整であるため、過去のOMベース手法とは異なり、全球的整数性を達成するための後処理が不要である。
• 本手法は明確な複雑度解析を備えており、A内での操作回数はO(n²+εδ¹⁺ε + n¹⁺εδ²⁺ε)と評価できる。ここでδは残渣体拡張の次数である。
• f(x) = x¹² + 14x¹⁰ + 8x⁸ + 16x⁶ + 32x⁴ + 64x² + 128の例について、ヘルメート標準形を適用した結果、12個の整数要素からなる完全な𝔭-整基底が正しく計算された。
• すべての𝔓|𝔭に対して、Q_i(θ)/π^μによる局所的基底の構成は有効であり、これらの要素の集合が全球的𝔭-整基底を形成する（定理5.16）。